卡特兰数

描述

Give you a convex（凸边形）, diagonal n-3 disjoint divided into n-2 triangles(直线), for different number of methods, such as n=5, there are 5 kinds of partition method, as shown in Figure

 

输入

The first line of the input is a n (1<=n<=1000), expressed n data set.
The next n lines each behavior an integer m (3<=m<=18), namely the convex edges.

输出

For each give m,, output how many classification methods.
example output: Case #a : b

样例输入

3345

样例输出

Case #1 : 1

Case #2 : 2

Case #3 : 5

 【代码】

 void solve() 

{  a[2] = 1, a[3] = 1, a[4] = 2, a[5] = 5;
     for (int i = 5; i <= 18; i++)
        a[i + 1] = a[i] * (4 * i - 6) / i ;
}

********************************************  相关  ******************************************

Kn=C(2n,n)-C(2n,n-1)

这个Kn就是传说中的卡特兰数，简单吧~~ K0=1,

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三、卡特兰数的应用

1.给乘积X1X,X3......Xn加括号的方法数

将问题转化一下，就是爬坐标，左括号数一定要大于或者等于右括号数

2.排列三个1和三个-1，使得从左到右部分和总是非负的方法数

将问题转化一下，就是加括号的方法数，排1的个数一定要大于或者等于排的-1个数

3.给定四个1和四个0，进行排列组合，使得从左往右读0的个数不超过1的个数

将问题转化为读括号，从左往右读，左括号一定要大于或等于右括号个数。

4.来个看起来复杂点的：将1 2 3 4 5 6排成两行，使得每行3个数，并且每行从左往右读值增加，每一列小数在上

我们可以想象， 1 2 3代表左括号， 4 5 6代表右括号，为了从左往右读值增加，方法会有很多，但加上小数在上大数在下，就相当于左括号数总是大于或者等于右括号数么。假设这里的“左括号”少一个，那么下面一行对应会多一个左括号，而且因为值要求从小到大排列，即每行左括号总是在前，那么在上下对齐时，由于下面左括号要多，所以下行最后一个左括号肯定对齐着上行的右括号，是不符合要求的，但上面行的左括号要多这是没问题的。

5【 阿里巴巴笔试题】： 说16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。 烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。 16个顾客互相不通气，每人只买一个。 问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。

将问题转化为：带5块钱的排前面的个数总是要大于带10块钱的人的个数，即C(16，8)-C(16，7)

6.【腾讯笔试题】 在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？

将问题转化为：还书的人总是要大于或等于借书的人，即C(6，3)-C(6，2) 

7. 出栈次序问题

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? 

将问题转化为：入栈的数的个数总是要大于或者等于出栈数的个数。 C(2n，n)-C(2n，n-1) 

8【阿里巴巴笔试题】 12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?

C(12，6)-C(12，5)