斐波那契数列和青蛙跳问题

递归的显著缺点

递归由于调用自身，而函数调用是有时间和空间的消耗的：每一次函数调用，都需要在内存栈中分配内存空间以保存参数、返回地址及临时变量，而且往栈里压入数据和弹出数据都需要时间。
另外，递归中有可能很多计算都是重复的，从而对性能带来很大的负面影响。递归的本质是把一个问题分解成两个或者多个小问题。如果多个小问题存在互相重叠的部分，那么久存在重复的计算。
斐波那契数列
效率最低的解法

//递归调用    long fibonacci(int n){        if(n<=0){            return 0;        }        if (n==1){            return 1;        }        return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);    }

树中有多个结点是重复的，而且重复的结点数会随着n的增加而急剧增加，这意味着随着n增加。用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的
改进的方式，只要避免重复计算，将得到的数列中间值保存起来，下次要计算查找一下
更简单的方式是从下往上走，计算f(0)和f(1)的f(2)以此计算

 public static int fibonaci(int n) {        int result[ 2]={            0, 1        } ;        if (n < 2) return result[n];        long fibNMinusOne=1;        long fibNMinuesTwo=2;        long fibN=0;        for(int i =2;i<=n;i++){            fibN = fibNMinusOne+fibNMinuesTwo;            fibNMinuesTwo = fibNMinusOne;            fibNMinusOne =fibN;        }        return fibN;    }

青蛙跳题目（扩展)
一只青蛙一次可以跳上一个台阶，也可以跳上2个台阶，求青蛙跳上一个n级台阶共有多少总跳法
思路：如果只有1级台阶，显然只有一种跳法，如果两个台阶，就来有种跳法
一般情况下，我们把n级台阶时的跳法看成是n的函数，记为f(n)。当n>2时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：一是第一次只跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为f(n-1);另一种选择是第一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下的n-2级台阶的跳法数目即为f(n-2)因此n级台阶的不同跳法总数是f(n)=f(n-1)+f(n-2)

青蛙跳扩展2
如果一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。。。它也可以跳上n级台阶，此时青蛙跳上一个n级台阶共有集中跳法，用数学的归纳法可以证明是f(n)=2^{（n-1）}

格子覆盖问题（扩展）
我们可以用2x1 的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形如8个2x1 的小矩形无重叠的覆盖一个2x8的大矩形，共有几种方法

思路：我们先把2x8的覆盖方法记为f(8）用第一个1x2小矩形去覆盖大矩形的最左边两个选择，竖着或者横着放，当竖着放，右边还剩下2x7的区域，它的覆盖方法即为f(7)。然后考虑横着放的情况。当1x2的小矩形横着放在左上角的时候，左下角必须和横着放一个1x2的小矩形，而在右边还剩下2x6的区域，这种情形下的覆盖方法记为f(6)，因此f（8）=f(7)+f(6)也是个斐波那契数列