数据结构-二叉堆

堆是一棵完全二叉树。

堆按照关键字的设定，分大顶堆和小顶堆，大顶堆指父亲节点关键字比儿子节点都要大，小顶堆指父亲节点关键字比儿子节点要小。

数组实现堆的思路：

设数组arr[];

在arr[0]处设立一个哨兵，大顶堆则赋一个大的数，小顶堆则赋一个小的数。

1号节点放置在数字下标为1的位置，其他的以此类推。

1号节点的左儿子是2，右儿子是3，根据二叉树的特性，以此类推，假设一个节点的编号为i，则左儿子编号为i*2，右儿子编号为i*2+1.

元素的插入：

1)由于使用数组来实现堆，那么设置一个计数Size来记录当前插入的是第几个元素。（Size根据个人喜好初始化为0或者-1, 我这里初始化为0）

2)插入一个新元素时，为了保证树的特性，我们要在数组下标为Size+1的位置存入新的元素，Size++; 脑补一发树的模样，我们总是逐层从左到右的插入元素，这样就能保证不破坏二叉树的结构。

3)插入一个元素，要进行上滤，上滤时把不满足优先条件的节点的权值进行改变，这个操作类似于一趟插入排序，详情见代码。

删除堆顶元素：

1)删除堆顶元素，为了保证树的结构，我们将编号最大(即最后一个节点)的叶子结点取出来，Size减1，将最后一个节点当初堆顶元素，执行下滤，下滤存在分支选择，根据优先级设置，大顶堆选择权值较大的分支，小顶堆相反。

2)下滤和上滤的操作差不多，都与插入排序中的寻找位置，其他元素挪位这一操作类似，主要差别在于多了一个分支选择。

时间复杂度：

插入n个节点花费O(1)的平均时间和O(log n)的最坏情形时间，总的运行时O(n)运行时间

删除堆顶元素的最坏时间是O(log n)

代码：

#include <iostream>using namespace std;const int CAPACITY = 10005;const int MIN = -0x3f3f3f3f;const int MAX =  0x3f3f3f3f;class Heap{public:int *arr, capacity, Size;public:Heap(){arr = new int[CAPACITY];capacity = CAPACITY;arr[0] = MIN;Size = 0;}~Heap(){if(arr!=NULL)delete []arr;}bool IsFull(){return capacity<=Size;}bool IsEmpty(){return !Size;}int GetTop(){return arr[1];}void Insert(int x){if(IsFull()) return;int i;for(i=(++Size); arr[i>>1]>x; i>>=1){arr[i] = arr[i>>1];}arr[i] = x;}void DeleteMin(){if(IsEmpty()) return;int Last = arr[Size--], i, child;for(i=1; (i<<1)<=Size; child=i){child = i<<1;if(child<Size && arr[child]>arr[child+1]) child++;if(Last > arr[child]) arr[i] = arr[child];else break;}arr[i] = Last;}};int main(){int n, m;int input[5] = {46, 23, 26, 24, 10};    Heap heap;    for(int i=0; i<5; i++){        heap.Insert(input[i]);    }    for(int i=1; i<=5; i++)        cout<<heap.arr[i]<<" ";    cout<<endl;return 0;}

未完待续