【算法概论】FAS问题与顶点覆盖问题

题目出自《算法概论》的第八章8.22

问题描述：
Given a directed graph G=(V,E) , a subset E ′ ∈E  is called a feedback arc set if the removal of edges E ′   renders G  acyclic.
FEEDBACK ARC SET(FAS): Given a directed graph G=(V,E)  and a budget b , find a feedback arc set of <=b  edges, if one exists.
FAS can be shown to be NP-complete by a reduction from VERTEX COVER.
(a) Show that FAS is in NP.
(b) Show that if G  contains a vertex cover of size b , then G ′   contains a feedback arc set of size b .
(c) Show that if G ′   contains a feedback arc set of size b , then G  contains a vertex cover of size (at most) b .
G=(V,E)  has n  vertices v 1 ,...,v n  , then make G ′ =(V ′ ,E ′ )  a directed graph with 2n  vertices w 1 ,w 1  ′ ,...,w n ,w n  ′  , and n+2|E|  (directed) edges:

• (w i ,w i  ′ )  for all 1,2,...,n .
• (w i ,w j  ′ )  and (w j ,w i  ′ )  for every (v i ,v j )∈E .
  值得注意的是，G 为无向图，G ′  为有向图。

问题解析：
(a) 问题a需要证明FAS是一个NP问题。首先介绍一下P问题，NP问题，以及NP完全问题(NPC, NP - Complete).

• P问题(Polynomial Problem)即可以在多项式时间内解决的问题。
• NP问题(Non-deterministic Polynomial Problem), 即不确定是否能在多项式时间内解决，但可以在多项式时间内验证一个解的问题。
• NPC问题：如果所有的NP问题能够在多项式时间内规约为某个NP问题，那么这个NP问题被称为NPC问题。

我们不确定FAS问题是否能在多项式时间内得到一个解，需要证明在多项式时间内验证一个解E ′  是否是FAS的解。
有如下验证：

1. 判断|E ′ |<=b 
2. 判断对于有向图G=(V,E) , G−E ′   无环。判断一个有向图是否存在环的算法为：对每个未访问过的顶点做一个DFS(深度优先搜索)，标记已经访问了的顶点，若一个正在访问的顶点为一条有向边的起点，一条已经访问了的顶点为该有向边的终点，则图G 有环。访问所有顶点后，若未判定图G 有环，则图G 无环。算法的时间复杂度为O(|E|+|V|) .

以上验证的方法可以在多项式时间内完成，因此FAS问题为NP问题。

(b) 证明如果G 包含一个顶点覆盖S , 其中|S|=b , 那么G ′  包含一个FAS(反馈弧集合)，该集合的大小为b .
首先我们以一个简单的例子来观察G ′  的构造。
图G ：
图G ′  ：

对于G 中的每个顶点v i  ，G ′  中对应着有向边<w i ,w i  ′ > .
对于G 中的每对相连的两个顶点(v i ,v j ) ，G ′  中对应着有向边<w i ,w j  ′ >  和 <w j ,w i  ′ > ，可以记这两条有向边为斜边。

可以看到，w i ,i=1,2,...,n 的出度为1，w i  ′ ,i=1,2,...,n 的入度为1.
并且若G 中的v i ,v j  两个顶点相连，则在G ′  中形成一个有向环：w i −>w i  ′ −>w j −>w j  ′ −>w i  .

当G 包含一个大小为b 的顶点覆盖S 时，G ′  的大小为b 的FAS构造方式为：
FAS={<w i ,w i  ′ >for every v i ∈S} 
可以看到， |FAS|=|S|=b .

对于每个v i ∈S ′  , <w i ,w i  ′ >∈FAS ，得到一个新图U ′ =G ′ −<w i ,w i  ′ > . 图U ′  中，由于w i  的出度变为0，因此以w i  为端点的边不会在任意一个有向环中。同理，由于w i  ′  的入度变为0，以w i  ′  为端点的边也不会在任意一个有向环中。

由于G 中的每条边(v i ,v j ) 都有一个顶点v i  或者v j  在顶点覆盖集S 中，(v i ,v j ) 对应着G ′  的有向环w i −>w i  ′ −>w j −>w j  ′ −>w i  . 若v i ∈S , 图G ′  中以w i  或w i  ′  为端点的有向边不在环中；若v j ∈S , 图G ′  中端点为w j  或w j  ′  的有向边不在环中。对于图G ′  中的每条斜边<w i  ′ ,w j > ，在顶点覆盖集中有v i ∈S 或v j ∈S , 因此当FAS的构造方式为FAS={<w i ,w i  ′ >for every v i ∈S} 时，所有的<w i ,w j  ′ > 和<w j ,w i  ′ > 都不在有向环中（所有斜边都不在环中）。G ′ −FAS 无有向环。

因此，如果G 包含一个大小为b 的顶点覆盖S , 那么G ′  包含一个大小为b 的FAS(反馈弧集合)，得证。

(c) 证明假如G ′  有一个集合大小为b 的FAS，那么G 有一个大小不超过b 的顶点覆盖S 。
在(b)中可以看到，如果G 包含一个大小为b 的顶点覆盖S ，那么G ′  包含一个大小为b 的FAS.
说明这里的FAS可能包含斜边以外的边，即<w i ,w i  ′ > 类型的有向边。

对于图G 中任意一条边e=(v i ,v j ) ，其对应G ′  中的一个有向环：w i −>w j  ′ −>w j −>w i  ′ −>w i  ，该有向环由四条有向边<w i ,w i  ′ >,<w i  ′ ,w j >,<w j ,w j  ′ >,<w j  ′ ,w i >  构成。
要使得G−FAS 中无环，则<w i ,w i  ′ >,<w i  ′ ,w j >,<w j ,w j  ′ >,<w j  ′ ,w i > 中至少有一条边属于FAS，该条边的其中一个端点为w i  或w j  。

因此，顶点覆盖集S 的构造方式为：
初始化S 为空集
对FAS中的每一条边（每一条边都形如<w i ,w i  ′ >或<w i  ′ ,w j >或<w j ,w j  ′ >或<w j  ′ ,w i > ）

1. 若这条边有一个端点为w i  , 则将v i  加入到顶点覆盖集S 中；
2. 若这条边有一个端点为w j  , 则将v j  加入到顶点覆盖集S 中。

条件1和条件2至少满足一条，若同时满足两条规则，那么任选一条执行。

该构造方式显然有|S|<=b ，并且任意一条边e=(v i ,v j ) 都有一个顶点在顶点覆盖集S 中。命题c得证。