算法概论 - 8.8

Problem

在精确的4SAT(EXACT 4SAT)问题中，输入为一组子句，每个子句都是恰好4个文字的析取，且每个变量最多在每个子句中出现一次。目标是求它的满足赋值————如果该赋值存在。证明精确的4SAT是NP-完全问题。

Solution

考虑通过将3SAT问题归约到4SAT(EXACT 4SAT)问题来验证4SAT(EXACT 4SAT)问题的NP完全性。

对于任意一个3SAT实例，考虑其每个子句。若该子句中多次包含同一文字，则这些文字可以缩减成一次，即

... ∨ p ∨ ... ∨ p ∨ ... ∨ p ∨ ...=... ∨ p ∨ ... ；

若该子句中某个包含某个文字本身及其否定，则这些文字可以相互抵消去掉，即

... ∨ p ∨ ... ∨ ┐p ∨ ... ∨ ┐p ∨ ...=... ；

经过上述简化后，在子句中添加若干哑变量，是每个子句包含的文字数目为4个。此时，3SAT实例成功转化为一个4SAT实例。显然，上述过程能使任意一个3SAT实例转化为一个4SAT实例，于是3SAT问题成功归约为一个4SAT(EXACT 4SAT)问题。