循环矩阵与傅里叶相关的几点性质

循环矩阵与傅里叶相关的几点性质

黄文举

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最近在看joao F. Henriques在15年paimi上的KCF&DCF跟踪论文，其用到了循环矩阵来生产密集采样样本，并且用循环矩阵与傅里叶变换的关系来简化计算，即在频域用循环矩阵的基向量就可以表述循环矩阵。现对文章中循环矩阵与傅里叶相关的两个重要公式进行推导和证明。

首先，定义循环矩阵：

X是有行向量x依次向右循环一位得到的（注意，有些资料是由列向量循环而来）。

公式一：

其中，x’表示X中的第一个列向量。即循环矩阵与一列向量相乘，等于此循环矩阵的第一个列向量与被乘列向量的卷积。

公式二：

其中，F表示傅里叶变换系数矩阵，F^H是F的共轭转置矩阵。

证明：

对于公式一，我们直接展开对应相乘就可以得到了。

 

不过得注意，这是循环卷积，所以[x1,x4,x3,x2]反绉后就变成了[x1,x2,x3,x4]。

对于公式二，我们首先观察一下Fdiag(x^):

容易发现，上式的第一行是f(x)的傅里叶变换，第二行是f(x-1)（右移一位）的傅里叶变换，以此类推。而上式的每一行乘以F^H后将得到其原函数（相当于傅里叶逆变换）。所以我们有：