[51Nod 1189阶乘分数]数学

知识点：math prime factor

1. 题目链接

[51Nod 1189阶乘分数]

2. 题意描述

1N!=1X+1Y（0<x<=y），给出N，求满足条件的整数解的数量。例如：N=2，1/2=1/3+1/6，1/2=1/4+1/4。由于数量可能很大，输出mod109+7。（1<=N<=1000000)

3. 解题思路

贴一下Wannafly Union的题解。
通常这种题目，x和y都具有轮换性时，就要特别注意了
通常最后式子能化简成一个具有轮换性的式子，比如这题，化简后得到

(X−N!)∗(Y−N!)=(N!)2

步骤如下：

(N!)2=(XYX+Y)2=XX+Y∗YX+Y=XX+Y∗YX+Y=(X−XYX+Y)∗(Y−XYX+Y)=(X−N!)∗(Y−N!)

所以我们只需要对阶乘求约数个数，就知道方案数了！
到了这一步后，大家就很熟练了。只要对质因数分解，由于有一个平方，把每个质数的右上标全部乘以2。
最后得到(N!)=pa11∗pa22∗⋯∗pamm
其中pi是质数，表示分解出的质因子的个数。
如果x与y的大小没有限制，那么答案就是∏(ai+1)
但是本题规定了x≤y, 那么答案就是⌊1+∏(ai+1)2⌋（逆元）

4. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;typedef long double LB;typedef pair<int, int> PII;typedef pair<LL, LL> PLL;const int INF = 0x3f3f3f3f;const LL INFL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;const LB eps = 1e-8;const int MAXN = 1000000 + 5;const int MOD = 1e9 + 7;int n;int prime[MAXN + 1];int cnt[MAXN];int factor[100][2];int fatCnt;LL inv2, ans;template<typename T> T umax(T& a, T b) { a = max(a, b); }LL qpow(LL a, LL b) {    LL ret = 1;    while(b > 0) {        if(b & 1) ret = ret * a % MOD;        a = a * a % MOD;        b >>= 1;    }    return ret;}void getPrime() {    memset(prime, 0, sizeof(prime));    for(int i = 2; i <= MAXN; i++) {        if(!prime[i])prime[++prime[0]] = i;        for(int j = 1; j <= prime[0] && prime[j] <= MAXN / i; j++) {            prime[prime[j]*i] = 1;            if(i % prime[j] == 0) break;        }    }}int getFactors(int x) {    fatCnt = 0;    int tmp = x;    for(int i = 1; prime[i] <= tmp / prime[i]; i++) {        factor[fatCnt][1] = 0;        if(tmp % prime[i] == 0) {            factor[fatCnt][0] = prime[i];            while(tmp % prime[i] == 0) {                factor[fatCnt][1]++;                tmp /= prime[i];            }            fatCnt++;        }    }    if(tmp != 1) {        factor[fatCnt][0] = tmp;        factor[fatCnt++][1] = 1;    }    return fatCnt;}int main() {#ifdef ___LOCAL_WONZY___    freopen("input.txt", "r", stdin);#endif // ___LOCAL_WONZY___    getPrime();    inv2 = qpow(2, MOD - 2);    while(~scanf("%d", &n)) {        memset(cnt, 0, sizeof(cnt));        int maxv = -1;        for(int i = 1; i <= n; ++i) {            getFactors(i);            for(int j = 0; j < fatCnt; ++j) cnt[factor[j][0]] += factor[j][1], umax(maxv, factor[j][0]);        }        ans = 1;        for(int i = 2; i <= maxv; ++i) {            if(cnt[i] == 0) continue;            ans = ans * ((cnt[i] << 1) + 1) % MOD;        }        ans = (ans + 1) * inv2 % MOD;        printf("%lld\n", ans);    }    return 0;}