快速幂

快速幂实际上是快速幂取模的缩写，就是快速求出一个幂式的模，它比一般的算法要快而且计算范围更广。

例如，求 a^b%c=?

常规算法为：

int   ans=1;

for(i=1;i<=b;i++)

{

       ans=ans*a;

}

ans=ans%a;

这个算法的时间复杂度为O(b)，如果a，b过大就会导致溢出。

这里有一个公式：a^b%c=(a%c)^b%c  有了这个公式就会简便很多，先对a取模，这样就可以一开始就减小a的大小。给出算法：

int  ans=1;

a=a%c;

for(int i=1;i<=b;i++)

{

         ans=a*ans;

}

ans=ans%c;

根据上述公式，我们可以想到既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。

给出算法：

int  ans=1;

a=a%c;//先对a取模，减小a

for(int i=1;i<=b;i++)

{

    ans=(ans*a)%c;//再次取模

}

ans=ans%c;

并没有减少复杂度。

int ans = 1;

a = a % c;

if(b%2==1)

ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中

k = (a*a) % c; //我们取a^2而不是a

for(int i = 1;i<=b/2;i++)

{

ans = (ans * k) % c;

}

ans = ans % c;

现在已经把时间复杂度减少到了o(b/2)，这样远远不够，但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。

 形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。

int PowerMod(int a, int b, int c)

{

     int ans = 1;

     a = a % c;

     while(b>0)

    {

           if(b % 2 = = 1)

           ans = (ans * a) % c;

           b = b/2;

           a = (a * a) % c;

    }

     return ans;

}

时间复杂度为O(logb)