最长单调递增子序列的三种解法

从报名蓝桥杯开始我就觉得我走入了一条及其坑的路。

从大一到大三我写过的代码，思考过的算法真是少之又少，一个动态规划我依旧没有吃透，真的是觉得好有挫败感。不过还好，一点点来。

既然知道自己要去做这件事情，就认真去做吧。就算开始的比较晚但是能学到东西就很好。

这是转载自爱天涯技术论坛。http://qiemengdao.iteye.com/blog/1660229

解释部分是人家的，代码是我自己又写了一遍的，加深理解吧算是。觉得自己学习能力真的是有待加强。

问题

给定一个长度为N的数组，找出一个最长的单调自增子序列（不一定连续，但是顺序不能乱）。例如：给定一个长度为6的数组A{5， 6， 7， 1， 2， 8}，则其最长的单调递增子序列为{5，6，7，8}，长度为4.

解法1：最长公共子序列法

这个问题可以转换为最长公共子序列问题。如例子中的数组A{5，6， 7， 1， 2， 8}，则我们排序该数组得到数组A‘{1， 2， 5， 6， 7， 8}，然后找出数组A和A’的最长公共子序列即可。显然这里最长公共子序列为{5, 6, 7, 8}，也就是原数组A最长递增子序列。最长公共子序列算法在算法导论上有详细讲解，这里简略说下思想。

假定两个序列为X={x1, x2, ..., xm}和Y={y1, y2, ..., yn)，并设Z={z1, z2, ..., zk}为X和Y的任意一个LCS。

1）如果xm = yn，则zk = xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS。

2）如果xm != yn, 则zk != xm蕴含Z是Xm-1和Y得一个LCS。

3）如果xm != yn, 则zk != yn蕴含Z是X和Yn-1的一个LCS。

这个方法我记得原来老师讲过，但是都忘记怎么实现了。今天先放在这里，立个flag，后期补充上。

解法2：动态规划法（时间复杂度O(N^2))

设长度为N的数组为{a0，a1, a2, ...an-1)，则假定以ai结尾的数组序列的最长递增子序列长度为L(i)，则L(i)={ max(L(j))+1, j<i且a[j]<a[i] }。也就是说，我们需要遍历在i之前的所有位置j(从0到i-1)，找出满足条件a[j]<a[i]的L(j)，求出max(L(j))+1即为L(j)的值。最后，我们遍历所有的L(i)（从0到N-1），找出最大值即为最大递增子序列。时间复杂度为O(N^2)。

例如给定的数组为{5，6，7，1，2，8}，则L(0)=1, L(1)=2, L(2)=3, L(3)=1, L(4)=2, L(5)=4。所以该数组最长递增子序列长度为4，序列为{5，6，7，8}。算法代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
char array[10001];
int MaxLen[10001];
//最长单调递增子序列，解法一
void LIS (){
    memset(MaxLen,0,sizeof(MaxLen));   //将Maxlen数组初始化为0
    int len = strlen(array);  //求出字符串长度
    for(int i=0;i<len;i++){
        MaxLen[i]= 1;
        //通过两步判断实现对最长子序列的查找
        for(int j=0;j<i;j++){
            if(array[i]>array[j]&&MaxLen[i]<1+MaxLen[j]){

                    MaxLen[i]= 1+MaxLen[j];

            }
        }
    }
}
//Max存储以array[i]为末尾元素的LIS 的长度，所以max数组的最大值即array的lis长度
int main ()
{
    int N,i,len,Max;
    cin>>N;
    while(N--)
    {
        Max =0;
        cin>>array;
        LIS();
        //通过循环查找其最大值
        len = strlen(array);
        for(i=0;i<len;i++)
        {
            if(Max < MaxLen[i]){
                Max = MaxLen[i];
            }
        }
        cout<<Max<<endl;
    }
    return 0;
}

这个代码是一个让我比较容易理解的代码。他就是很严格的按照动态规划的要求，有状态和状态转移方程。

状态是L[i]，它的下标和字符串的下标一样，代表的是若该字符是最长递增子序列的最后一个字符，那么序列的长度就是L[i]。

那么L[i]的数值如何确定呢？    则是由状态转移方程来进行这个完成工作的。

两个循环，下标 i 前面的字符是否小于这个字符，若小于且L[j]+1>L[i]，则L[i] = L[j]+1；

但是这种方法有一个问题，不能输出该序列。因为没有存储。

解法3：O(NlgN）算法

假设存在一个序列d[1..9] ={ 2，1 ，5 ，3 ，6，4， 8 ，9， 7}，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

注意，这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

代码如下（代码中的数组B从位置0开始存数据）：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
char array[10001];
char b[10001];
//最长单调递增子序列
int BiSearch(int len,char w)
{
    int left =0,right = len-1;
    int mid;
    while(left<=right){
        mid = left +(right-left)/2;
        if(b[mid]>w)
        {
            right = mid -1;
        }
        else if(b[mid]<w)
        {
            left = mid +1;
        }
        else
            return mid;
    }
    return left;
}
int LIS (int n){
    int len =1;    //表示b数组的长度
    b[0]=array[0];
    int i,pos=0;
    for(i=1;i<n;++i){
        if(array[i]>b[len-1])
        {
            b[len]=array[i];
            ++len;
        }
        else
        {
            pos= BiSearch(len,array[i]);
            b[pos]= array[i];
        }
    }
    return len;
}

//Max存储以array[i]为末尾元素的LIS 的长度，所以max数组的最大值即array的lis长度
int main ()
{
    int N,i,len,Max;
    cin>>N;
    while(N--)
    {
        Max =0;
        cin>>array;
        len = strlen(array);
        Max=LIS(len);
        cout<<Max<<endl;
        //通过循环查找其最大值
        for(int i=0;i<Max;i++){
            cout<<b[i];
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

我喜欢这个解法，这个解法觉得很清楚。

用len记录b数组的长度，而且b数组还是记录的序列的内容。

这真是极好的。