bzoj 3771: Triple 快速傅里叶变换+容斥原理

题意

给定n个物品，可以用一个/两个/三个不同的物品凑出不同的价值，求每种价值有多少种拼凑方案(顺序不同算一种)

分析

显然搞一波母函数然后直接上fft即可。
问题是怎么处理重复的。
设x为只选一个，y为选两个相同的，z为选三个相同的，那么答案就是x+(x*x-y)/2+(x*x*x-3*x*y+z*2)/6

解释一下，x就是只选一个，(x*x-y)/2表示选两个减去重复的再除以排列，(x*x*x-3*x*y+z*2)/6表示选三个然后减去两个相同的乘上其排列再加上两倍三个相同的。看不懂的话就自己画一个图看看吧。

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>#include<complex>#include<cmath>#define N 500005#define pi acos(-1)using namespace std;typedef complex<double> com;int n,m,rev[N],lg;com a[N],b[N],c[N],ans[N];void fft(com *a,int f,int n){    for (int i=0;i<n;i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);    for (int i=1;i<n;i<<=1)    {        com wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));        for (int j=0;j<n;j+=(i<<1))        {            com w(1,0);            for (int k=0;k<i;k++)            {                com u=a[j+k],v=w*a[j+k+i];                a[j+k]=u+v;a[j+k+i]=u-v;                w*=wn;            }        }    }    if (f==-1) for (int i=0;i<n;i++) a[i]/=n;}int main(){    scanf("%d",&n);    int mx=0;    for (int i=1;i<=n;i++)    {        int x;        scanf("%d",&x);        a[x]=b[x*2]=c[x*3]=1;        mx=max(mx,x*3);    }    for (m=1;m<=mx*2;m<<=1,lg++);    for (int i=0;i<m;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));    fft(a,1,m);fft(b,1,m);fft(c,1,m);    for (int i=0;i<m;i++)        ans[i]=a[i]+0.5*(a[i]*a[i]-b[i])+1.0/6*(a[i]*a[i]*a[i]-3.0*a[i]*b[i]+2.0*c[i]);    fft(ans,-1,m);    for (int i=0;i<m;i++)        if ((int)(ans[i].real()+0.1)>0) printf("%d %d\n",i,(int)(ans[i].real()+0.1));    return 0;}