【计蒜客14899】积性函数（加强版） 题解

题目出自北方大学acm多校训练赛第四场

V1（原题）

题目大意

      定义函数 f(n,0)=1， f(n,m)=∑d|nf(d,m−1)∗f(nd,m−1)
      给定 n,m，求 f(n,m) mod 10007
      多组数据，T<=10， n<=1e9， m<=50

      （这题我想了十几分钟没想出来，然后jasonvictoryan走过来，想了10秒钟，想出了V2解法。。。）

题解

      据说 n 的约数很少，直接暴力就。。。过了？？？

V2

题目大意

      数据范围改成 T<=1e3， n<=1e18， m<=1e5
      （这个模数感觉好容易误判。。。改成 1e9+7 吧。。。）

题解

      长成 f(i)=∑d|nf(d)∗f(id) 这个样子的，多半是积性函数。
      进而发现，同一层的 f 是积性函数。（同一层是指 m 相同）

      所以只用求出 f(pcii,m) 就行了，其中 n=Πpcii

      进而发现，这个东西跟 pi 没有关系，只跟 ci 有关。
      这里可能存在什么公式可以直接求出来，不过由于 ci<64，所以预处理也行。

      然后大整数分解质因数用 pollard_rho。

代码

// 方法是 V2 的，数据范围是 V1 的，没打 pollard_rho#include<cmath>#include<cstdio>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)using namespace std;const int mo=10007;int n,m,p0,p[100][2];int T,f[100][100];int main(){    fo(i,0,30) f[i][0]=1;    fo(j,1,50)        fo(i,0,30)            fo(k,0,i) f[i][j]=(f[i][j]+f[k][j-1]*f[i-k][j-1])%mo;    scanf("%d",&T);    while (T--)    {        scanf("%d %d",&n,&m);        int sqrtn=sqrt(n);        p0=0;        fo(i,2,sqrtn) if (n%i==0)        {            p[++p0][0]=i;            p[p0][1]=0;            for(; n%i==0; n/=i) p[p0][1]++;        }        if (n>1) p[++p0][0]=n, p[p0][1]=1;        int ans=1;        fo(i,1,p0) ans=ans*f[p[i][1]][m]%mo;        printf("%d\n",ans);    }}