矩阵计算一些重要的结论及其证明
来源:互联网 发布:济宁网络问政平台登录 编辑:程序博客网 时间:2024/04/27 07:37
1. 第一类:特征值相关
1.1 对角线元素之和等于特征值之和
证明略
1.2 矩阵的行列式等于特征值之积
- 严格对角占优
→ 正定→ 高斯赛德尔、雅可比、SOR迭代收敛。 - 正定
→ 特征值皆为正。 - 正定
→ 满秩。 - 总结:严格对角占优
→ 正定,特征值皆为正,满秩,Gauss-Seidel、Jacobi、SOR迭代收敛。因此通常我们会个系数矩阵加上αI ,以保证矩阵正定。
2. 第二类:迹相关
2.1
3. 对称正定相关
3.1 对称正定矩阵的性质
3.1.1 对角线元素大于0
证明:根据对称正定的定义,
xTAx>0 。取x=[0,0,...1,...0]T 。即xi=1 ,其它元素都为0,即可得到aii>0 。
3.1.2 特征值大于0
证明:根据对称正定的定义,
xTAx>0 。取x 为A 的特征向量vi ,对应的特征值为λi 。则,vTiAvi=vTiλivi=λivTivi>0 。又,vTivi>0 可知,λi>0
0 0
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