离散基础 (3). 差分（微分）的理解和应用

1. 定义
连续形式（微分）∂：∂(fx)=limh→0f(x+h)−f(x)h

离散形式（差分）Δ：Δ(fx)=limh=1f(x+h)−f(x)h

2. 理解
从定义出发，微分，差分都可以理解为“自变量的单位变化对因变量的影响程度”。

3. 例题
计算下降乘幂的差分形式Δxm−−

4. 分析
下降乘幂的定义为xm−−=x(x+1)(x+2)⋯(x+m−1),根据下降乘幂的定义，我们知道下降乘幂和阶乘以及上升乘幂三者之间的关系为m!=mm−−=1m¯¯，这是后话。

5. 解题
根据差分的离散形式的定义，有，

Δxm−−=(x)m−−−(x−1)m−−

Δxm−−=x(x+1)(x+2)⋯(x+m−1)−(x−1)(x)(x+1)⋯(x−1+m−1)

Δxm−−=(x(x+1)(x+2)⋯(x+m−2))(x+m−1−(x−1))

Δxm−−=mxm−1−−−

6. 数学应用

m=0,Δxm−−=Δ1=0

m=1,Δxm−−=Δx=1

m=2,Δxm−−=Δx(x−1)=2x

⋯

7. 其他应用
影子价格 (shadow price) 等，总之应用非常广泛。