动态规划 02题

02:最大子矩阵

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描述

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。

比如，如下4 * 4的矩阵

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

的最大子矩阵是

9 2
-4 1
-1 8

这个子矩阵的大小是15。

输入

输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N²个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。

输出

输出最大子矩阵的大小。

样例输入

40 -2 -7 0 9 2 -6 2-4 1 -4  1 -18  0 -2

样例输出

15

2.解题思路：

最大子矩阵问题，是最优解问题，这里是最长子序列的变形。通常的最长子序列是找出一维数组的某种条件序列，这里的矩阵问题是二维的，那么应该怎么样对应起来呢？当然是降维！我们可以纵向压缩，将矩阵列压缩为一个点，从而将最大子矩阵（二维，纵向+横向）转换为最大序列和（一维，纵向一定，横向最大），达到降维的目的，找出横向的最优问题。

3.代码：

#include<iostream>#include<iomanip>#define N 103using namespace std;int fun (int b[N],int n){ int i,max,c;  c=0;  max=0;  for (i=1;i<=n;i++) {if (c>0)  c=c+b[i];  else  c=b[i];  if (max<c)  max=c; } return max;}int main(){    int n,i,j,max,sum,k;    int a[N][N],b[N];    while (cin>>n)   {for (int i=1;i<=n;i++)    for (int j=1;j<=n;j++)    cin>>a[i][j];    max=0;    for (i=1;i<=n;i++)   {for (j=1;j<=n;j++)    b[j]=0;    for (j=i;j<=n;j++)   {for (k=1;k<=n;k++)    b[k]+=a[j][k];    sum=fun(b,n);    if (max<sum)    max=sum;   }   }   cout<<max<<endl;   }   return 0;}