动态规划题

来源：互联网发布：java string变量编辑：程序博客网时间：2024/05/18 04:43

DP(Dynamic Programming)的题目

DP：如果一个问题可以从optimal substructure推出, 那么就可以考虑用DP做, DP的优点, 比较简单直接好理解,最难的部分应该是找到那个递推表达式.

《编程之美》 2.18 数组分割 zz

题目概述：有一个没有排序，元素个数为2N的正整数数组。要求把它分割为元素个数为N的两个数组，并使两个子数组的和最接近。
假设数组A[1..2N]所有元素的和是SUM。模仿动态规划解0-1背包问题的策略，令S(k, i)表示前k个元素中任意i个元素的和的集合。显然：
S(k, 1) = {A[i] | 1<= i <= k}
S(k, k) = {A[1]+A[2]+…+A[k]}
S(k, i) = S(k-1, i) U {A[k] + x | x属于S(k-1, i-1) }
按照这个递推公式来计算，最后找出集合S(2N, N)中与SUM最接近的那个和，这便是答案。这个算法的时间复杂度是O(22N).
因为这个过程中只关注和不大于SUM/2的那个子数组的和。所以集合中重复的和以及大于SUM/2的和都是没有意义的。把这些没有意义的和剔除掉，剩下的有意义的和的个数最多就是SUM/2个。所以，我们不需要记录S(2N,N)中都有哪些和，只需要从SUM/2到1遍历一次，逐个询问这个值是不是在S(2N,N)中出现，第一个出现的值就是答案。我们的程序不需要按照上述递推公式计算每个集合，只需要为每个集合设一个标志数组，标记SUM/2到1这个区间中的哪些值可以被计算出来。关键代码如下：

    for(i = 0; i < N+1; i++)
        for(j = 0; j < sum/2+1; j++)
            flag[i][j] = false;
    flag[0][0] = true;
    for(int k = 1; k <= 2*N; k++) {
        for(i = k > N ? N : k; i >= 1; i--) {
            //两层外循环是遍历集合S(k,i)
            for(j = 0; j <= sum/2; j++) {
                if(j >= A[k] && flag[i-1][j-A[k]])
                    flag[i][j] = true;
            }
        }
    }
    for(i = sum/2; i >= 0; i--) {
        if(flag[N][i]) {
            cout << "minimum delta is " << abs(2*i - sum) << endl;
            break;
        }
    }
LCS(longest common sequence)
给出数组 a[M], b[N], 找出, 他们之间最长的common sequence, 比如a = “apple is fashion”，b = “google is not evil”
那么得到的输出结果就是
    The LCS number is 7
    “le is n”
可见这两句看上去没有什么关系的话还是有一定联系的

如果定义 F(i, j) 是a[0]….a[i], 和 b[0]…b[j]之间的common sequence 的个数，所以
   F(i,j)= F(i-1, j-1)+1 if a[i]=b[j]
      or = max(F(i-1,j),F(i,j-1)) if a[i]!=b[j]
如果两个数组的长度分别是LEN1, LEN2, 那么时间复杂度是O(LEN1*LEN2), 然后还需要O(LEN1*LEN2)的空间复杂度.
操作次数问题(operation)
如果有两个字符串str1, str2, 怎么用最少的操作让str1 变成 str2。你可以利用的操作有 1. 插入(insert) 2. 替换(replace) 3. 删除(delete)。再次开动脑经, 如果记录 F(i, j) 为str1[0...i]变成str2[0....j]所需要的操作的数目.
那么就有
F(i,j) = F(i-1, j-1) if str1[i]==str2[j]
or = min(F(i-1,j)(deletion), F(i,j-1)(insertion), F(i-1,j-1)(replace))+1 if str1[i]!=str2[j]
时间复杂度是 O(LEN1*LEN2)