BZOJ 1263: [SCOI2006]整数划分 数学，高精度

Description
从文件中读入一个正整数n（10≤n≤31000）。要求将n写成若干个正整数之和，并且使这些正整数的乘积最大。 例如，n=13，则当n表示为4+3+3+3（或2+2+3+3+3）时，乘积=108为最大。
Input
只有一个正整数： n （10≤n≤31000）
Output
第1行输出一个整数，为最大乘积的位数。 第2行输出最大乘积的前100位，如果不足100位，则按实际位数输出最大乘积。 （提示：在给定的范围内，最大乘积的位数不超过5000位）。
Sample Input
13

Sample Output
3

108

解法：
神结论。。。orzzz
结论：

如果n是3的倍数 那么将n划分成n/3个3是最优的

如果n是3的倍数+1 那么将n划分成(n-4)/3个3和两个2是最优的

如果n是3的倍数+2 那么将n划分成(n-2)/3个3和1个2是最优的

证明在PoPoQQQ大爷博客上有：

证明是有的

考虑不是划分成整数，而是划分成任意实数

设我们将n划分成了x个正实数之和

易知当这x个数相等时答案是最优的

那么每个数都是n/x，答案是(n/x)^x

设y=(n/x)^x

则有lny=x[ln(n)-ln(x)]

两侧求导可得y’=(n/x)^x * ( ln(n) - ln(x) - 1 )

当x=n/e时y‘取0 此时乘积最大

因此每个数要尽量靠近e才能使答案最大

现在考虑整数 离e最近的整数是3 因此要把n尽量分成3 不足的用2补齐 这样可以保证是最优的。

这就解释了为什么是分尽量多的3。

//BZOJ 1263 高精度#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int maxn = 5050;struct BigInteger{    int a[maxn], cnt;    BigInteger(int x){a[cnt=1]=x;}    void operator *= (int x){        for(int i=1; i<=cnt; i++) a[i]*=x;        for(int i=1; i<=cnt; i++) a[i+1]+=a[i]/10, a[i]%=10;        if(a[cnt+1]) ++cnt;    }}ans(1);int main(){    int n;    scanf("%d", &n);    switch(n%3){    case 0:        for(int i=3; i<=n; i+=3)            ans*=3;            break;    case 1:        for(int i=7; i<=n; i+=3) ans*=3;        ans*=4;        break;    case 2:        for(int i=5; i<=n; i+=3) ans*=3;        ans*=2;        break;    }    cout<<ans.cnt<<endl;    for(int i = ans.cnt; i&&i>ans.cnt-100;i--)        printf("%d", ans.a[i]);    printf("\n");    return 0;}