51nod_1002_数塔取数问题

题目

原题链接：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1002
题目描述：
一个高度为N的由正整数组成的三角形，从上走到下，求经过的数字和的最大值。
每次只能走到下一层相邻的数上，例如从第3层的6向下走，只能走到第4层的2或9上。

5
8 4
3 6 9
7 2 9 5

例子中的最优方案是：5 + 8 + 6 + 9 = 28

Input:
第1行：N，N为数塔的高度。(2 <= N <= 500)
第2 - N + 1行：每行包括1层数塔的数字，第2行1个数，第3行2个数……第k+1行k个数。
数与数之间用空格分隔（0 <= A[i] <= 10⁵) 。
Output:
输出最大值

解题思路

自底向上

从上往下走，只有两种选择，所以所有可能的路的条数可以用一个二叉树来表示。如下图：

图1 路径的所有可能数

从图1很容易的能够看出来，要想整个路径达到最大，就要5加上它左右节点到叶子节点较大的一个，
即 res = 5 + max(left, right)。由此我们就可以递归地求解。

res f(root) {    if (leaf)    return leaf;    else    return root + max(left, right);}

但是我们可以发现，在整个递归过程中，重复计算了很多节点。如图6中，节点6出现了
两次，层数越多，重复计算的就越多，会导致指数级的时间复杂度。
我们可以用额外的空间来保存已经计算过的子树的最大值，当再次访问到相同的节点时，
就不用继续递归，直接返回值。

res fun(root) {    if (leaf)    return leaf;    if (root in the table)    return max of root;    else {    table[root] = root + max(left, right);    return table[root];    }}

自顶向下

这种思路就是从上往下，计算出顶部到达某一层每个节点的路径长度，保存到数组中，
然后以此层路径长度计算下一层路径长度，直到最底层。最后顶层到所有叶子节点的
最长路径都计算出来，只需找到其中的最大值就行。

代码

自底向上

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef int DataType; DataType data[505][505];//原数据DataType table[505][505];//记录计算的值int n = 0;DataType max(DataType a, DataType b) {    return a > b ? a : b;}DataType dp(int i, int j) {    if (i > n) {    return 0;    }    if (table[i][j] != 0) {    return table[i][j];    } else {    table[i][j] =  max(dp(i + 1, j), dp(i + 1, j + 1)) + data[i][j];    return table[i][j];    }}int main() {    scanf("%d", &n);    int i, j;    for(i = 2;i <= n;i++) {    for(j = 1;j <= i;j++) {        scanf("%d", &data[i][j]);     }    }    DataType res = dp(0, 0);    printf("%d\n", res);    return 0;}

自顶向下

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef int DataType; DataType max(DataType a, DataType b) {    return a > b ? a : b;}DataType dp[505];int main() {    int n;    scanf("%d", &n);    scanf("%d", dp + 1);//第一层    int i, j, x, m;    for (i = 2;i <= n;i++) {    DataType a = 0;    for (j = 1;j <= i;j++) {        scanf("%d", &x);        m = max(dp[j], dp[j-1]) + x;// 根据上一层计算到达x节点的最大值        dp[j-1] = a;// 更新dp[j-1]，此时dp[j-1]保存的是当前层对应节点的最大值        a = m;    }    dp[i] = a; //当前层的最后一个节点    }    // 遍历保存的值，找出最大    DataType res = dp[1];    for (i = 2;i <= n;i++) {    if (res < dp[i]) {        res = dp[i];    }    }    printf("%d\n", res);    return 0;}