leetcode.70.Climbing Stairs

Description

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

Note: Given n will be a positive integer.

sln1

首先我们将 n∈{1,2,3,4,5} 这几步的结果列出来观察一下：

F(1) = 1F(2) = 2F(3) = 3F(4) = 5F(5) = 8

因为每次前进的楼梯数只能等于1或者2，所以我们到达第k个楼梯之前所处的楼梯只可能是k-1或k-2。因此，到底第k个楼梯的方法，等于到达第k-1个楼梯的方法加上到达k-1个楼梯的方法，即

F(k)=F(k−1)+F(k−2)

且当k等于1的时候，F(1) = 1，k=2时，F(2) = 2，这个是初始条件。这么看来，到达每一层楼梯的方法数组成的数列，其实就是一个斐波那契数列，因此我们可以用求斐波那契数列的方法来求F(n)。python实现如下：

class Solution(object):    def climbStairs(self, n):        """        :type n: int        :rtype: int        """        ways = [1, 2]        for i in xrange(2, n):            ways.append(ways[i - 1] + ways[i - 2])        return ways[n - 1]

sln2

既然我们在sln1中已经发现，到达每一层楼梯的方法数组成的数列其实就是一个斐波那契数列，那么我们自然就可以用fibonacci数列公式来直接求F(n)。fibonacci数列公式参考维基百科。依旧观察sln1中我们列出的F(1)~F(5)，将其与标准fibonacci数列对比，不难发现F(n) = fibonacci(n + 1)。因此在利用公式计算F(n)时，记得要对n做出相应调整（n=n+1）。

class Solution(object):    def climbStairs(self, n):        """        :type n: int        :rtype: int        """        theta = (1.0 + pow(5, 0.5)) / 2        n = n + 1        return int((pow(theta, n) - pow(-theta, -n)) / pow(5, 0.5))