DP---最长公共子序列&最长公共字串
来源:互联网 发布:电梯破解软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 11:26
【动态规划】最长公共子序列与最长公共子串
1. 问题描述
子串应该比较好理解,至于什么是子序列,这里给出一个例子:有两个母串
- cnblogs
- belong
比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致,我们将其称为公共子序列。最长公共子序列(Longest Common Subsequence, LCS),顾名思义,是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列,要求在母串中连续地出现。在上述例子的中,最长公共子序列为blog(cnblogs, belong),最长公共子串为lo(cnblogs, belong)。
2. 求解算法
对于母串
暴力解法
假设
动态规划
假设
- 如果
xm=yn ,则zk=xm=yn ,有Zk−1 是Xm−1 与Yn−1 的LCS; - 如果
xm≠yn ,则Zk 是Xm 与Yn−1 的LCS,或者是Xm−1 与Yn 的LCS。
因此,求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是,上述的递归求解的办法中,重复的子问题多,效率低下。改进的办法——用空间换时间,用数组保存中间状态,方便后面的计算。这就是动态规划(DP)的核心思想了。
DP求解LCS
用二维数组c[i][j]记录串
代码实现
public static int lcs(String str1, String str2) { int len1 = str1.length(); int len2 = str2.length(); int c[][] = new int[len1+1][len2+1]; for (int i = 0; i <= len1; i++) { for( int j = 0; j <= len2; j++) { if(i == 0 || j == 0) { c[i][j] = 0; } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) { c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1; } else { c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]); } } } return c[len1][len2];}
DP求解最长公共子串
前面提到了子串是一种特殊的子序列,因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要,糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性,将二维数组
得到转移方程:
最长公共子串的长度为
代码实现
public static int lcs(String str1, String str2) { int len1 = str1.length(); int len2 = str2.length(); int result = 0; //记录最长公共子串长度 int c[][] = new int[len1+1][len2+1]; for (int i = 0; i <= len1; i++) { for( int j = 0; j <= len2; j++) { if(i == 0 || j == 0) { c[i][j] = 0; } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) { c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1; result = max(c[i][j], result); } else { c[i][j] = 0; } } } return result;}
3. 参考资料
[1] cs2035, Longest Common Subsequence.
[2] 一线码农, 经典算法题每日演练——第四题 最长公共子序列.
[3] GeeksforGeeks, Dynamic Programming | Set 29 (Longest Common Substring).
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