dp基础题

前言：

       dp主要找出最优子结构（状态）、转移方程和边界。

在51nod上做的dp基础题

一、背包问题 点击打开链接

        dp[i][j]表示把前i个物品装到容量为j的背包中的最大总重量。这样对于每一个物品来说只有两种状态（装还是不装），所以对于状态dp[i][j]来说只有两种选择要么用i，要么不用i。所以，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i])。这种做法就不必记录每个物品到底有没有使用过。

       

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <iostream>using namespace std;const int maxn=1e4+10;typedef long long ll;//int grh[maxn][maxn];int dp[110][maxn];int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("data.in","r",stdin);//    freopen("out.in","w",stdout);    #endif    int n,V;    scanf("%d%d",&n,&V);    for(int i=1;i<=n;i++)    {        int v,w;        scanf("%d%d",&v,&w);        for(int j=0;j<=V;j++)        {            dp[i][j]=(i==1)?0:dp[i-1][j];            if(j>=v) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v]+w);        }    }    printf("%d\n",dp[n][V]);    return 0;}

二、最长上升子序列 点击打开链接

        这种问题有两种解法一种是O(n^2)，另一种是O(nlogn)

       1、 O(n^2)的解法

       dp[i]表示包括p[i]的最长上升子序列，对于每个p[i]来说只要找到p[j](j<i&&p[i]>p[j])且max(p[j])则dp[i]=dp[j]+1，所以dp[i]=max(dp[j]+1 {j<i&&p[i]>p[j]})。

       2、O(nlogn)的解法

       因为当序列长度确定时我们希望序列的最大值最小，只有这样我们在后续的问题中才能尽量地为该序列增加长度。dp[i]表示所有长度为i的最长上升子序列的最大值的最小值，所        以我们遍历更新该值。

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <iostream>using namespace std;const int maxn=1e5+10;typedef long long ll;//int grh[maxn][maxn];int dp[maxn],p[maxn];int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("data.in","r",stdin);//    freopen("out.in","w",stdout);    #endif    int n=0; scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&p[i]);    int ans=0;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        if(ans==0||dp[ans-1]<p[i])        {            dp[ans]=p[i];            ans++;        }        else        {            int q=lower_bound(dp,dp+ans,p[i])-dp;            dp[q]=p[i];        }    }    printf("%d\n",ans);    return 0;}

三、 最长公共子序列Lcs 点击打开链接

        dp[i][j]表示字符串s1的前i个字符与字符串s2的前j个字符的最大匹配。因为字符匹配是一个一个字符移动的，所以dp[i][j]可能等于dp[i-1][j]或dp[i][j-1]或dp[i-1][j-1]+(s1[i]==s2[j]?           1:0)，所以dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1]+(s1[i]==s2[j]?1:0))。

         (我觉得最长公共子序列的问题可以应用在字符串匹配等匹配类的问题)

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <iostream>using namespace std;const int maxn=1e3+10;typedef long long ll;//int grh[maxn][maxn];int dp[maxn][maxn];char s1[maxn],s2[maxn],s[maxn];int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("data.in","r",stdin);//    freopen("out.in","w",stdout);    #endif    scanf("%s%s",s1,s2);    int len1=strlen(s1),len2=strlen(s2);    for(int i=1;i<=len1;i++)    {        for(int j=1;j<=len2;j++)        {            dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1]+(s1[i-1]==s2[j-1]?1:0),max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]));        }    }//    printf("%d\n",dp[len1][len2]);    int k=dp[len1][len2]-1,i=len1,j=len2;    while(k>=0)    {        if(s1[i-1]==s2[j-1])        {            s[k--]=s1[i-1];            i--;            j--;        }        else if(dp[i-1][j]>dp[i][j-1]) i--;        else j--;    }    printf("%s\n",s);    return 0;}

四、最大连续和 点击打开链接

       我们可以知道对于每个p[i]来说，它可以计入前一个连续和中也可以作为下一个连续和的开头计入下一个连续和中。所以，如果我们想要连续和最大则要看包括p[i]的连续和能否          大于0，对其他连续和是否有“贡献”。这种思路还能计算最小连续和，只要把大于0改为小于0即可。（其实这我不太能理解...）

#include <cstdio>#include <cstring>const int maxn=5e4+10;long long a[maxn];int main(){//    freopen("data.in","r",stdin);    int n;    scanf("%d",&n);    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld",&a[i]);    long long sum=0,ans=a[0];    for(long long i=0;i<n;i++)    {        if(sum<0) sum=0;        sum+=a[i];        ans=ans>sum?ans:sum;    }    if(ans<0) ans=0;    printf("%lld\n",ans);    return 0;}

五、矩阵取数 点击打开链接

       dp[i][j]表示走到(i,j)这个点时最大值为多少，因为我们只能从点(i-1,j)或(i,j-1)走到点(i,j)，所以dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+p[i],dp[i][j-1]+p[i])。（对于这种移动位置找最大最小值的问题，        状态一般是走到某一个点的最大最小值，转移方程是能从哪几个点走到该点）

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <iostream>using namespace std;const int maxn=1e3+10;int grh[maxn][maxn];int dp[maxn][maxn];int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("data.in","r",stdin);    #endif    int n=0;    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)    {        for(int j=1;j<=n;j++)        {            scanf("%d",&grh[i][j]);        }    }    for(int i=1;i<=n;i++)    {        for(int j=1;j<=n;j++)        {            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grh[i][j];        }    }    printf("%d\n",dp[n][n]);    return 0;}

六、回文串划分 点击打开链接

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn=5e3+10;char s[maxn];int dp[maxn];int main(){#ifdef LOCAL    freopen("input.in","r",stdin);#endif    scanf("%s",s+1);    int len=strlen(s+1);    for(int i=1;i<=len;i++) dp[i]=len;    for(int i=1;i<=len;i++)    {        for(int j=i,k=i;j<=len&&k>=1;j++,k--)        {            if(s[j]==s[k]) dp[j]=min(dp[k-1]+1,dp[j]);            else break;        }        for(int j=i+1,k=i;j<=len&&k>=1;j++,k--)        {            if(s[j]==s[k]) dp[j]=min(dp[k-1]+1,dp[j]);            else break;        }    }    printf("%d\n",dp[len]);    return 0;}




                                             
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