数论常用内容——矩阵快速幂

在数论题以及一些非数论题中，经常出现递推的情况，如果找不到规律，强行迭代递推的话不是一个明智的选择，今天我就来给大家介绍一个适用于这种情形的方法——矩阵快速幂

矩阵快速幂是如何优化递推的呢？

首先，需要先构造合适的初始状态（第一个矩阵）然后，利用此矩阵和矩阵乘法的性质，使用快速幂的手段求出之后的状态构造矩阵可以根据矩阵乘法的实现特点来构造，利用合适的性质可以简化运算

如何构造矩阵呢？

（一）f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的第n项快速求法

考虑1×2的矩阵【f[n-2],f[n-1]】。根据Fibonacci数列的递推关系，我们可以通过乘以一个2×2的矩阵A，得到矩阵：【f[n-1],f[n]】。即：【f[n-2],f[n-1]】*A = 【f[n-1],f[n]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]】很容易构造出这个2×2矩阵A，即：０ １１ １所以，有【f[1],f[2]】×A＝【f[2],f[3]】又因为矩阵乘法满足结合律，故有：【f[1],f[2]】×A ^(n-1) =【f[n],f[n+1]】这个矩阵的第一个元素f[n]即为所求。

（二）f[n]=f[n-1]+f[n-2]+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法

仿照前例，考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],1】，希望求得某3×3的矩阵A，使得此1×3的矩阵乘以A得到矩阵：【f[n-1],f[n],1】即：【f[n-2],f[n-1],1】* A ＝【f[n-1],f[n],1】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+1,1】容易构造出这个3×3的矩阵A，即：０ １ ０１ １ ００ １ １故：【f[1],f[2],1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],1】

（三）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法

仿照前例，考虑1×4的矩阵【f[n-2],f[n-1],n,1】，希望求得某4×4的矩阵A，使得此1×4的矩阵乘以A得到矩阵：【f[n-1],f[n],n+1,1】即：【f[n-2],f[n-1],n,1】* A  = 【f[n-1],f[n],n+1,1】＝【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+n+1,n+1,1】容易构造出这个4×4的矩阵A，即：０ １ ０ ０１ １ ０ ００ １ １ ００ １ １ １故：【f[1],f[2],3,1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],n+2,1】

（四）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]求法

仿照之前的思路，考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】，我们希望通过乘以一个3×3的矩阵A，得到1×3的矩阵：【f[n-1],f[n],s[n-1]】即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】 * A  = 【f[n-1],f[n],s[n-1]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2],s[n-2]+f[n-1]】容易得到这个3×3的矩阵A是：０ １ ０１ １ １０ ０ １这种方法的矩阵规模是(r+1)*(r+1)f(1)=f(2)=s(1)=1 ，所以，有【f(1),f(2),s(1)】* A  = 【f(2),f(3),s(2)】故：【f(1),f(2),s(1)】* A^(n-1)  = 【f(n),f(n+1),s(n)】

（五）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]求法

考虑1×5的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】我们需要找到一个5×5的矩阵A，使得它乘以A得到如下1×5的矩阵【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】* A  =【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】=【f[n-1], f[n-1]+f[n-2]+n+1,s[n-2]+f[n-1],n+1,1】容易构造出A为：０ １ ０ ０ ０１ １ １ ０ ００ ０ １ ０ ００ １ ０ １ ００ １ ０ １ １故：【f(1),f(2),s(1),3,1】* A^(n-1)  = 【f(n),f(n+1),s(n),n+2,1】

（六）f[n]=p*f[n-1]+q*f[n-2]+r*n+s

可以构造矩阵A为：0  q  0  0  01  p  1  0  00  0  1  0  00  r  0  1  00  s  0  1  1

（七）f[n]=Sigma(a[n-i]*f[n-i])+Poly(n)

其中0<i<=某常数c, Poly (n)表示n的多项式，我们依然可以构造类似的矩阵A来解决问题。设Degree(Poly(n))=d, 并规定Poly(n)=0时，d=-1，此时对应于常系数线性齐次递推关系。则本方法求前n项和的复杂度为：((c+1)+(d+1))3*logns例如：A(0) = 1 , A(1) = 1 , A(N) = X * A(N - 1) + Y * A(N - 2) (N >= 2)；给定三个值N，X，Y求S(N):S(N) = A(0)2 +A(1)2+……+A(n)2。解：考虑1*4 的矩阵【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】我们需要找到一个4×4的矩阵A，使得它乘以A得到1×4的矩阵【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】即：【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】* A = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】= 【s[n-2]+a[n-1]^2 , x^2 * a[n-1]^2 + y^2 * a[n-2]^2 + 2*x*y*a[n-1]*a[n-2]，a[n-1]^2 , x*a[n-1]^2 + y*a[n-2]a[n-1]】可以构造矩阵A为：1     0    0    01    x^2   1    x0    y^2   0    00    2xy   0    y故：【S[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * A^(n-1) = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】所以：【S[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * A^(n) = 【s[n],a[n+1]^2,a[n]^2,a[n+1]*a[n]】若A = (B * C ) 则AT = ( B * C )T = CT * BT故可得如下图所示的矩阵

构造完矩阵如何得到答案呢？

这里，矩阵快速幂，和数字的快速幂算法是一样的，只是把数字换成了矩阵而已，矩阵的乘法线性代数应该都学过，这里不再赘述，下面是我写的矩阵快速幂代码实现

const int MAXN = 15;//最大294const int mod = 10000007;//矩阵定义struct  Matrix{    __int64 a[MAXN][MAXN];    int r;//行数    int c;//列数};//输出测试函数void print(Matrix mat){    for(int i=0;i<mat.r;i++){        for(int j=0;j<mat.c;j++){            if(j) cout<<" ";            cout<<mat.a[i][j];        }        cout<<endl;    }    cout<<endl;}//矩阵初始化void init(Matrix &mat, __int64 n){    for (int i = 0;i < mat.r;i++){        for (int j = 0;j < mat.c;j++){            mat.a[i][j] = n;        }    }}//矩阵乘法Matrix mul(Matrix mat1, Matrix mat2){    Matrix res;    res.c = mat2.c;    res.r = mat1.r;    init(res, 0);    for (int i = 0;i < mat1.r;i++){        for (int j = 0;j < mat2.c;j++){            for (int k = 0;k < mat1.c;k++){                res.a[i][j] += mat1.a[i][k] * mat2.a[k][j];                res.a[i][j] %= mod;            }        }    }    return res;}//矩阵快速幂Matrix fmp(Matrix ans,__int64 n){    Matrix base;    base.c=base.r=ans.r;    init(base,0);    for(int i=0;i<base.r;i++){        base.a[i][i]=1;    }    while (n){        if (n & 1) base = mul(base, ans);        ans = mul(ans, ans);        n >>= 1;    }    return base;}