数论常用内容——数根

对于数根可能接触的不多，但是我觉得这里还是应该做一下简单的总结和介绍

数根

数根(又称数字根Digital root)是自然数的一种性质，每个自然数都有一个数根。

数根是将一正整数的各个位数相加(即横向相加)，若加完后的值大于等于10的话，则继续将各位数进行横向相加直到其值小于十为止，最后得到的数字就是该数的数根

数根的性质

root(a+b)=root(root(a)+root(b))root(a*b)=root(root(a)*root(b))root(a)=root(root(a/10)+a%10)

几种常用数根计算的代码实现

n的数根（模拟）

int root(int n){    while(n>9){        n=n%10+n/10;    }    return n;}

---

n的数根（找规律）

int _root(int n){    return n?(n+8)%9+1:0;}

---

n的数根（大数）

int __root(char *p){    int n=0;    for(int i=0;p[i];i++){        n+=p[i]-'0';    }    return n?(n+8)%9+1:0;}

---

n^n的数根（找规律）

int digitalRoot(int n){    int tree[19]={9,1,4,9,4,2,9,7,1,9,1,5,9,4,7,9,7,8};    return tree[n%18];}

---

a^b的数根（模拟）

int _digitalRoot(int a,int b){    a=root(a);    int ans=1;    while(b--)        ans=root(ans*a);    return ans;}

---

a^b的数根（二进制法）

int __digitalRoot(int a,int b){    a=root(a);    int t=a,ans=1;    while(b){        if(b&1)ans=root(ans*t);        b>>1;        t=root(t*t);    }    return ans;}