数论常用内容——高斯消元

来源：互联网发布：软件项目验收程序编辑：程序博客网时间：2024/06/05 23:40

高斯消元法

数学上，高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解

高斯消元法求解线性方程组时，首先需要根据方程，列出增广矩阵。然后再利用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解

高斯消元法的应用

1、找出可逆矩阵的逆矩阵

设A为一个N*N的可逆矩阵，将一个N*N单位矩阵I放在A的右边，形成一个N*2N的分块矩阵 B = [A,I] 。经过高斯消元法的计算程序后，矩阵B的左边原来A的位置会变成一个单位矩阵I ，而逆矩阵A ^(-1) 会出现在原来I的位置。

注：假如高斯消元法不能将A化为三角形的格式，那就代表A 是一个不可逆的矩阵。

2、算出矩阵的秩

将增广矩阵进行高斯消元变换，统计非零行行数（即最后一列的非零数字的个数），即为该矩阵的秩

高斯消元的编程思路及代码实现

先来介绍思路：

把方程组转换成增广矩阵。

利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵：
枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。

转换为行阶梯阵，判断解的情况：
① 无解：当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。
② 唯一解：条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。

下面放出代码

首先是对于整数的高斯消元

代码中有详细注释，对于上面思路理解不深刻的可以看一下代码注释

const int MAXN=50;int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵int x[MAXN];//解集bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元void Debug(void){    int i, j;    for (i = 0; i < equ; i++)    {        for (j = 0; j < var + 1; j++)        {            cout << a[i][j] << " ";        }        cout << endl;    }    cout << endl;}inline int gcd(int a,int b){    int t;    while(b!=0){        t=b;        b=a%b;        a=t;    }    return a;}inline int lcm(int a,int b){    return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出}// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.int Gauss(int equ,int var){    int i,j,k;    int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.    int col;//当前处理的列    int ta,tb;    int LCM;    int temp;    int free_x_num;    int free_index;    for(int i=0;i<=var;i++){        x[i]=0;        free_x[i]=true;    }    //转换为阶梯阵.    col=0; // 当前处理的列    for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++){    // 枚举当前处理的行.    // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)        max_r=k;        for(i=k+1;i<equ;i++){            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;        }        if(max_r!=k){// 与第k行交换.            for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);        }        if(a[k][col]==0){// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.            k--;            continue;        }        for(i=k+1;i<equ;i++){// 枚举要删去的行.            if(a[i][col]!=0){                LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));                ta = LCM/abs(a[i][col]);                tb = LCM/abs(a[k][col]);                if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加                for(j=col;j<var+1;j++){                    a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;                }            }        }    }  //  Debug();    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).    for (i = k; i < equ; i++){     // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.        if (a[i][col] != 0) return -1;    }    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵。且出现的行数即为自由变元的个数.    if (k < var){        // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.        for (i = k - 1; i >= 0; i--){            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.            free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.            for (j = 0; j < var; j++){                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;            }            if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.            // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.            temp = a[i][var];            for (j = 0; j < var; j++){                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];            }            x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.            free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.        }        return var - k; // 自由变元有var - k个.    }    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.    for (i = var - 1; i >= 0; i--){        temp = a[i][var];        for (j = i + 1; j < var; j++){            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];        }        if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.        x[i] = temp / a[i][i];    }    return 0;}int main(void){    freopen("in.txt", "r", stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);    int i, j;    int equ,var;    while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF){        memset(a, 0, sizeof(a));        for (i = 0; i < equ; i++){            for (j = 0; j < var + 1; j++){                scanf("%d", &a[i][j]);            }        }//        Debug();        int free_num = Gauss(equ,var);        if (free_num == -1) printf("无解!\n");   else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");        else if (free_num > 0){            printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);            for (i = 0; i < var; i++){                if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);                else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);            }        }        else{            for (i = 0; i < var; i++){                printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);            }        }        printf("\n");    }    return 0;}

接下来是对于浮点数的高斯消元

由于是浮点数的运算，所以要设定一个eps，当一个数小于eps时，就认为它是0

const int MAXN = 1000;const double eps = 1e-7;double a[MAXN][MAXN],x[MAXN];int equ,var;int Gauss(){    int col,max_r;    for(int k=0,col=0;k<equ&&col<var;k++,col++){        max_r=k;        for(int i=k+1;i<equ;i++)            if(fabs(a[i][col])>fabs(a[max_r][col]))                max_r=i;        if(fabs(a[max_r][col])<eps) return 0;        if(k!=max_r){            for(int j=col;j<var;j++)                swap(a[k][j],a[max_r][j]);            swap(x[k],x[max_r]);        }        x[k]/=a[k][col];        for(int j=col+1;j<var;j++) a[k][j]/=a[k][col];        a[k][col]=1;        for(int i=0;i<equ;i++){            if(i!=k){                x[i]-=x[k]*a[i][k];                for(int j=col+1;j<var;j++) a[i][j]-=a[k][j]*a[i][col];                a[i][col]=0;            }        }    }    return 1;}

最后是应用比较广泛的0-1高斯消元

int Gauss(int equ, int var){    int max_r,col,k;    for(k=0,col=0;k<equ&&col<var;k++,col++){        max_r=k;        for(int i=k+1;i<equ;i++){            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;        }        if(a[max_r][col]==0){            k--;            continue;        }        if(max_r!=k){            for(int j=col;j<var+1;j++){                swap(a[k][j],a[max_r][j]);            }        }        for(int i=k+1;i<equ;i++){            if(a[i][col]!=0){                for(int j=col;j<var+1;j++){                    a[i][j]^=a[k][j];                }            }        }    }    return var-k;}//枚举自由变元，求出多解中的最小解void solve(){    int t=Gauss();    if(t==-1){        puts("inf");    }    else if(t==0){        int ans=0;        for(int i=0;i<n*n;i++){            ans+=x[i];        }        printf("%d\n",ans);    }    else{        int cnt;        int ans=0x3fffffff;        int tot=1<<t;        //枚举自由变元        for(int i=0;i<tot;i++){            int tmp=tot;            cnt=0;            for(int j=0;j<t;j++){                if((tmp>>j)&1){                    x[free_x[j]]=1;                    cnt++;                }                else x[free_x[j]]=0;            }            for(int j=var-t-1;j>=0;j--){                int idx;                for(idx=j;idx<var;idx++){                    if(a[j][idx])                        break;                }                x[idx]=a[j][var];                for(int k=idx+1;k<var;k++){                    x[idx]^=(a[j][k]&x[k]);                }                cnt+=x[idx];            }            ans=min(ans,cnt);        }        printf("%d\n",ans);    }}

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