约瑟夫环问题

约瑟夫环问题：一圈共有N个人，开始报数，报到M的人自杀，然后重新开始报数，问最后自杀的人是谁？

如上图：内环表示人排列的环，外环表示自杀顺序；上面N=41,M=3。
最普通办法就是模拟整个过程：建一个bool数组，true表示此人还活着，false表示已经自杀。可以模拟整个过程.

#include<iostream>  using namespace std;  int main()  {      int N;//人的总个数      int M;//间隔多少个人      cin>>N;      cin>>M;      bool *p=new bool[N+1];//[1……N]为true表示此人还活着      for (int i=1; i <= N; i++)          *(p+i)=true;      int count=0;//统计自杀的人数      for (int i=1, j=0; ;i++)//i用来表示循环，j用来计算是不是第N个人      {          if (*(p+i))//此人还活着          {              j++;              if (j == M)              {                  *(p+i)=false;                  j=0;                  count++;//统计自杀的人              }              if (count == N)              {                  cout<<"最后自杀的人是："<<i<<endl;                  break;              }          }          if(i == N) //经过一次筛选之后,去掉自杀的人之后,重新编号开始下一轮的筛选.            i=0;      }      delete []p;      return 0;  }  

模拟整个过程，复杂度为O(NM)。可以用数学方法来求解：
把问题重新描述一下：N个人（编号0~(N-1))，从0开始报数，报到(M-1)的自杀，剩下的人继续从0开始报数。求最后自杀者的编号。
N个人编号如下：

第一个自杀的人是（M-1）%N，例如上图中，41个人中，报到3的人自杀，则字一个自杀的人的编号是（3-1）%41=2。编号（M-1)%N自杀后，剩下的人排列如下：

有人自杀后，下一个位置M又从零开始报数，因此环应该如下：

将上面的排列顺序重新编号：

问题变为（N-1）个人，报到为（M-1）的人自杀，问题规模减小了。这样一直进行下去，最后剩下编号为0的人。用函数表示：
F(1)=0
当有2个人的时候（N=2），报道（M-1）的人自杀，最后自杀的人是谁？应该是在只有一个人时，报数时得到的最后自杀的序号加上M，因为报到M-1的人已经自杀，只剩下2个人，另一个自杀者就是最后自杀者，用函数表示：
F(2)=F(1)+M
可以得到递推公式：
F(i)=F(i-1)+M
因为可能会超出总人数范围，所以要求模
F(i)=(F(i-1)+M)%i
有了递推公式就可以在O（N）时间求出结果：

#include<iostream>  using namespace std;  int main()  {      int N;//人的总个数      int M;//间隔多少个人      cin>>N;      cin>>M;      int result=0;//N=1情况      for (int i=2; i<=N; i++)      {          result=(result+M)%i;      }      cout<<"最后自杀的人是："<<result+1<<endl;//result要加1      return 0;  }  

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