欧拉函数和欧拉定理

1）对于素数p，φ(p) = p-1;

2）两个不同的素数p，q ，n=p*q
     φ(n)= φ(p)* φ(q)=(p-1)*(q-1)

3）互质的正整数a和n，有a^φ(n)≡1 mod n

费马小定理：若正整数 a 与素数 p 互质，则有 a^(p – 1) ≡ 1 mod p 。

因为 φ(p) = p -1

4）当b是素数，a%b=0，则：

φ(ab)= φ(a) *b

5）p为素数，那么φ(p^k)=p^k – p^(k-1)

欧拉函数的两种求法：

1） φ(n)= n(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pn)

int euler_phi(int n){int m=(int)sqrt(n+0.5);int ans=n;for(int i=2;i<=m;i++)if(n%i==0) {ans=ans/i*(i-1);while(n%i==0) n/=i;}if(n>1) ans=ans/n*(n-1);return ans;}

因为前后项有关系，所以可以快速打表：小于n且与n互素的整数个数(欧拉函数)的计算

2） 递推法, 根据上面定理4，2：
质数p满足p|x,若p2|x,则φ(x)=φ(x/p)*p,若p2|x不成立 则φ(x)=φ(x/p)*(p-1)
(1)若p2|x不成立, 因x/p和p互质，故: φ(x)=φ(x/p)*φ(p)=φ(x/p)*(p-1)

(2)若p2|x， 因 p|(x/p)且p是质数,故 φ(x) = φ(x)=φ(x/p)*p

int euler_phi(int n){int res=1;for(int i=2;i*i<=n;i++)if(n%i==0) {         //说明i|nn/=i,res*=i-1;while(n%i==0) n/=i,res*=i;  //说明i^2|n}if(n>1) res*=n-1;return res;}