51nod：数字1的数量（线性dp or 数位dp）

给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有正数，计算出其中出现所有1的个数。

例如：n = 12，包含了5个1。1,10,12共包含3个1，11包含2个1，总共5个1。

Input

输入N(1 <= N <= 10^9)

Output

输出包含1的个数

Input示例

12

Output示例

5

题目思路：

这道题数据这么大显然不能直接求得，想的时候一下子就想出来dp的方法（不过转移状态的时候，有个·地方是减一还是加一一直没搞清楚，想了挺久才搞清楚），但是没反映出来是dp，可能只是用到dp保存之前节点的值的概念，不过，没关系能想到dp的方法就好了，首先我们为什么会想到用dp，因为对于一个数，高位的数字1的数量是乘以低位数字的数量，比如538，加入前两位的数字1的数量是35，那么高位的数字1的数量就5*35了，这个很容易想到吧，然后我们自然就知道是用dp了，这样我们就很容易定义出状态dp[i]为i位数1的数量那么答案就是所有的dp[i]相加了，虽然状态很容易定义出来，状态转移也不难想出来，但是有一点细节需要考虑，就是我们转移状态的时候分为等于1和大于1的情况，大于一的时候我们是转移x*num[i-1]还是(x-1)num[i-1]呢一开始我以为是后者，wa的天昏地暗，脑子不够清醒，忘记自己的状态定义的是什么了，我们状态定义的是第i位数一的数量 比如321 dp[1]就是1~1的1的数量，dp【2】就是10~21的数量，dp【3】就是100~321的数量，那么这样的话我们就知道是x-1还是x了，显然是x的，因为这里dp【i-1】有一部分没有算到，就是21~100的部分，然后对于第i为300~321的也不好算，但是刚好和前面那部分相加起来就是一个num【i-1】所以是x，另外还要注意当前位是1的情况

num【i】代表1~1^i的一的数量

ac代码：

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<iostream>#include<sstream>#include<map>#include<cmath>#define LL long long#define INF 0x3f3f3f3fusing namespace std;int dp[20];int num[20];string s;int main(){    while(cin>>s)    {        int len = s.size();        reverse(s.begin(),s.end());        memset(num,0,sizeof(num));        memset(dp,0,sizeof(dp));        int last = 1;        for(int i = 0;i<len;i++ )        {            if(i==0)            {                dp[i] = s[i]=='0'?0:1;                num[i] = 1;            }            else            {                num[i] = num[i-1]*10+pow(10,i);                if(s[i]>'1')                {                    dp[i] = (s[i]-'0')*num[i-1]+pow(10,i);                }                else if(s[i] == '1')                {                    int tmp = 0;                    for(int j = i-1 ;j>=0;j--)                        tmp = tmp*10+(s[j]-'0');                    dp[i] = num[i-1]+1+tmp;                }            }        }        int ans = 0;        for(int i = 0 ;i<len;i++)        {           // cout<<dp[i]<<endl;            ans+=dp[i];        }        cout<<ans<<endl;    }}