《算法概论》习题8.22

题目：在任务调度中，常常会用到图。其中节点对应任务，任务i到任务j的有向边表示i是j的先期条件。这样的图描述了调度问题中的任务先后关系（约束）。显然，一个调度是可行的当且仅当该图无环；如果调度不可行，我们需要求使其无环所需的最小约束数量。

给定一个有向图G=(V,E)，子集E’⊆E称为反馈弧集合是指：将其移除后将使得G无环。

反馈弧集合（FEEDBACK ARC SET，简称FAS）问题：给定有向图G=(V,E)和预算b，求包含不超过b条边的反馈弧集合——如果这样的集合存在。

(a)

证明 FAS属于NP
证明：拓扑排序的时间复杂度为O(E+V)，可以通过它来验证一个图是否无环，即FAS存在多项式时间的验证算法，所以FAS属于NP。

(b)

通过将顶点覆盖问题规约为FAS，可以证明FAS是NP-完全的。给定一个顶点覆盖实例(G,b)，我们如下构造一个FAS实例(G’,b)：如果G=(V,E)包含n个顶点v1,…vn，则生成一个包含2n个顶点w1,w1’,…wn,wn’和n+2|E|条边的有向图G’=(V’,E’)，其中的边为：

• 对所有i=1,2,…,n，有(wi,wi’)。
• 对每个(vi,vj)∈E，有(wi,wj)和(wj’,wi)。

证明如果G包含规模为b的顶点覆盖，则G’有规模为b的反馈弧集合。

证明：根据题设中的规约，可以构造出一个简单的G和G’：
G:

G’:

根据构造的G和G’，结合规约，可以得出，对于G’中的顶点wi的出度为1，唯一的出边指向wi’；而顶点wi’的入度为1，唯一的入边从wi出发。

假设C是G的一个规模为b的顶点覆盖集，对于任意顶点vi∈C，将边(wi,wi’)添加到E’，则E’就是要求的G’的一个规模为b的FAS。因为将(wi,wi’)去掉之后，wi不再有出边，wi’也不再有入边，即wi的出度变为0，不可能在一个环中，而wi’的入度也变为0，不可能在任何一个环中，即如果G包含规模为b的顶点覆盖，则G’有规模为b的反馈弧集合，得证。

(c)

证明如果G’包含规模为b的顶点覆盖，则G’有规模不超过b的顶点覆盖。

根据(b)中构造的G和G’，可以看到G中简单的边(v1,v2)在G’中对应4个顶点w1、w1’、w2、w2’，以及涉及的4条边，推广而言，G中的边(vi,vj)在G’中对应wj、wj’、wj、wj’四个顶点，以及涉及的边(wi,wi’)、(wj,wj’)、(wi’,wj) 、(wj’,wi)。设E’是G’的一个规模为b的
FAS，显然，这4条边中必定有一条边e在集合E’中，否则就一定会形成环，而且，参考构造的G’，e必然有一个端点是wi或wj。

现构造以下规则，若wi是e的端点，则将vi添加至C，否则将vj添加到
C，重复以上操作，那么根据定义，C就是G的一个规模不超过b的顶点覆盖，得证。