算法概论 习题8.20

本篇为算法课期末作业。

题目是8.20.

原题：在一个无向图G=（V,E）中，我们称为一个占优集，是指每个都属于D或者D中一个节点为邻。在占优集问题中，输入为一个图和预算b，目标是求图的一个规模不超过b的控制集——如果该集存在。证明该问题是NP-完全的。

解答：可以将顶点覆盖问题归约到支配集问题。若要在图G(V, E)中求得不大于b的一个顶点覆盖，可以先对图G 做一个预处理：对每条边(u,v)∈E ，添加一个辅助顶点w，及两条边(u,w)和(v,w)，如下图所示：

对每条边都这样处理后得到一个新图G'。容易看出，若原图G 中存在不大于b 的顶点覆盖，这个顶点覆盖也是新图G'的一个支配集。反过来，若新图G'中存在一个不大于b 的支配集，那么对这个支配集进行一些处理后也能得到一个图G 的不大于b 的顶点覆盖。处理过程如下：设该支配集为D，对于每条边(u,v)及相应的辅助顶点w，若w∉D ，则不用做任何处理，若w∈D 且u,v∉D，那么可以在D中将w替换成u 或v，若w∈D 同时u∈D∨ v∈D，则直接将w从D中删掉即可。