分治法---棋盘覆盖问题

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http://www.cnblogs.com/Jason-Damon/archive/2013/06/14/3136893

问题描述

在一个2^{^k}×2^{^k} 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

解题思路

分析：当k>0时，将2k×2k棋盘分割为4个2^{^k-1}×2^{^k-1} 子棋盘(a)所示。特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如 (b)所示，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘1×1。（出自算法设计与分析-王晓东）

实现：每次都对分割后的四个小方块进行判断，判断特殊方格是否在里面。这里的判断的方法是每次先记录下整个大方块的左上角（top left coner）方格的行列坐标，然后再与特殊方格坐标进行比较，就可以知道特殊方格是否在该块中。如果特殊方块在里面，这直接递归下去求即可，如果不在，这根据分割的四个方块的不同位置，把右下角、左下角、右上角或者左上角的方格标记为特殊方块，然后继续递归。在递归函数里，还要有一个变量s来记录边的方格数，每次对方块进行划分时，边的方格数都会减半，这个变量是为了方便判断特殊方格的位置。其次还要有一个变nCount来记录L型骨牌的数量。

代码实现：

#include <stdio.h>  #include <stdlib.h> #include <string.h> int nCount = 0; int Matrix[100][100];void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)  {      int s,flag;  //tr and tc represent the 左上角 corner's coordinate of the matrix     if (size == 1) return;        s = size/2; //正方形一半长度      flag = ++ nCount;      //dr为缺块列 dc缺块行//tr为左上角列 tc为左上角行    if (dr < tr + s && dc < tc +s)  //左上角递归     {          chessBoard(tr,tc,dr,dc,s);      }      else  //不在左上角 左上角正方形的右下角赋值，并递归    {          Matrix[tr+s-1][tc+s-1] = flag;          chessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);      }        if (dr < tr + s && dc >= tc + s )  //右上角递归    {          chessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);      }      else      {          Matrix[tr+s-1][tc+s] = flag;          chessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);      }        if (dr >= tr + s && dc < tc + s)  //左下角递归    {          chessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);      }       else      {          Matrix[tr+s][tc+s-1] = flag;          chessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);      }         if (dr >= tr + s && dc >= tc + s)  //右下角递归    {          chessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);      }       else      {          Matrix[tr+s][tc+s] = flag;          chessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);      }    }  int main()  {      int size,r,c,row,col;      memset(Matrix,0,sizeof(Matrix));//矩阵初始化      scanf("%d",&size);      scanf("%d%d",&row,&col);      chessBoard(0,0,row,col,size);      for (r = 0; r < size; r++)      {          for (c = 0; c < size; c++)          {              printf("%2d ",Matrix[r][c]);          }          printf("\n");      }      return 0;  }