棋盘覆盖问题 (分治法)

棋盘覆盖问题

问题的描述:

¢在一个 2k×2k个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊方格，且称该棋盘为特殊棋盘（Defective Chessboard）。

l特殊方格在棋盘中出现的位置有 4k种情形，就有4k种不同的棋盘。

¢图中的特殊棋盘是当k＝2时16个特殊棋盘中一个。在棋盘覆盖问题中，要求用图所示的4种不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何两个L型骨牌不得重叠覆盖。在任何一个个 2k×2k的棋盘覆盖中，用到的L型骨牌个数为（4k-1)/3。

问题的分析：

¢用分治策略，可以设计解棋盘覆盖问题的一个简捷算法。分治的技巧在于如何划分棋盘，使划分后的子棋盘大小相同，并且每个子棋盘均包含一个特殊方格，从而将原问题分解为规模较小的棋盘覆盖问题。

l当k>0时，将2k×2k的棋盘划分为4个2k-1×2k-1子棋盘。

l原棋盘只有一个特殊方格，则其余3个子棋盘中没有特殊方格。

l用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处。从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题，以便采用递归方法求解。

l递归地使用这种划分策略，直至将棋盘分割为1×1的子棋盘。

程序：

#include "iostream"using namespace std;int board[1025][1025];int tile = 1;//tr,tc棋盘左上角方格坐标， dr, dc特殊方格所在坐标， size为行数void ChessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size){if(size == 1)return;int t = tile++;// L型骨牌号int s = size / 2;//覆盖左上角子棋盘if(dr < tr + s && dc < tc + s)//特殊方格在此棋盘中ChessBoard(tr, tc, dr, dc, s);else{//此棋盘无特殊方格，用 t 号 L 型骨牌覆盖右下角board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;//覆盖其余方格ChessBoard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);}//覆盖右上角子棋盘if(dr < tr + s && dc >= tc + s)//特殊方格在此棋盘中ChessBoard(tr, tc + s, dr, dc, s);else{board[tr + s - 1][tc + s] = t;ChessBoard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);}//覆盖左下角子棋盘if(dr >= tr + s && dc < tc + s)ChessBoard(tr + s, tc, dr, dc, s);else{board[tr + s][tc + s - 1] = t;ChessBoard(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);}//覆盖右下角子棋盘if(dr >= tr + s && dc >= tc + s)ChessBoard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);else{board[tr + s][tc + s] = t;ChessBoard(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);}}int main(){int k, x, y, i, j;while(cin>>k){tile = 1;cin>>x>>y;int size = 1<<k;board[x][y] = 0;ChessBoard(0, 0, x, y, size);for(i = 0; i < size; i++){for(j = 0; j < size; j++)cout<<board[i][j]<<"\t";cout<<endl;}}return 0;}