BZOJ 1188 分裂游戏 (博弈论)
来源:互联网 发布:学生电脑软件下载 编辑:程序博客网 时间:2024/06/01 22:48
1188: [HNOI2007]分裂游戏
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Description
聪聪和睿睿最近迷上了一款叫做分裂的游戏。 该游戏的规则试: 共有 n 个瓶子, 标号为 0,1,2…..n-1, 第 i 个瓶子中装有 p[i]颗巧克力豆,两个人轮流取豆子,每一轮每人选择 3 个瓶子。标号为 i,j,k, 并要保证 i < j , j < = k 且第 i 个瓶子中至少要有 1 颗巧克力豆,随后这个人从第 i 个瓶子中拿走一颗豆 子并在 j,k 中各放入一粒豆子(j 可能等于 k) 。如果轮到某人而他无法按规则取豆子,那么他将输 掉比赛。胜利者可以拿走所有的巧克力豆! 两人最后决定由聪聪先取豆子,为了能够得到最终的巧克力豆,聪聪自然希望赢得比赛。他思考 了一下,发现在有的情况下,先拿的人一定有办法取胜,但是他不知道对于其他情况是否有必胜 策略,更不知道第一步该如何取。他决定偷偷请教聪明的你,希望你能告诉他,在给定每个瓶子 中的最初豆子数后是否能让自己得到所有巧克力豆,他还希望你告诉他第一步该如何取,并且为 了必胜,第一步有多少种取法? 假定 1 < n < = 21,p[i] < = 10000
Input
输入文件第一行是一个整数t表示测试数据的组数,接下来为t组测试数据(t<=10)。每组测试数据的第一行是瓶子的个数n,接下来的一行有n个由空格隔开的非负整数,表示每个瓶子中的豆子数。
Output
对于每组测试数据,输出包括两行,第一行为用一个空格两两隔开的三个整数,表示要想赢得游戏,第一步应该选取的3个瓶子的编号i,j,k,如果有多组符合要求的解,那么输出字典序最小的一组。如果无论如何都无法赢得游戏,那么输出用一个空格两两隔开的三个-1。第二行表示要想确保赢得比赛,第一步有多少种不同的取法。
Sample Input
2
4
1 0 1 5000
3
0 0 1
Sample Output
0 2 3
1
-1 -1 -1
0
思路:
额,博弈论还不是很透彻,引用一段混混吧。。。
博弈论的题目一般就是组合游戏加SG函数。
但是稍微一考虑却发现各个石头堆不是独立的,不能直接上组合游戏。
如果考虑每个石头作为一个游戏,会发现这样就是独立的游戏了!
我们可以将每一颗石子看作是一堆石子,如果它是第p堆中的石子,把么它所代表的这堆石子的个数为n+1-p。
从而,操作变为拿走一个非0的石堆,并放入2个规模小于他的石堆(可以为0)。因为石子堆是互不干扰的,因此这个游戏可以看作由若干个只有一堆石子的游戏组成。
先分析子游戏。求子游戏某状态x的SG函数值,我们需要它后继状态的SG函数值,子游戏的后继状态大多数为含有2堆石子的状态,不过2堆均小于x石子数。在了解石子数小于x的状态函数值的条件下,用SG定理可以求得任意后继状态的函数值。
我们可以递推求得子游戏任意状态的SG函数值。用SG定理可以求得和游戏的任意状态的SG函数值。只要操作之后留下的状态SG值为0就行了。 时间复杂度分析: 以上算法包含O(n)个SG值的计算,计算每一个的时间最多为O(n2),判断必胜状态需要O(∑Si),寻找最优策略需要O(n3)的时间,综上,该算法的时间复杂度为O(n3+∑Si)。
#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;int n, a[26], SG[26];void init(){ bool mark[20001]; SG[1] = 0; for(int i=2; i<=25; i++){//SG[i]为当前状态 memset(mark, 0, sizeof(mark)); for(int j=1; j<i; j++) for(int k=1; k<=j; k++)//i->j和k mark[SG[j] ^ SG[k]] = 1;//两个子状态的异或 for(int x=0; ; x++) if( !mark[x] ){ SG[i] = x; break; } //mex }}int main(){ init(); int q; scanf("%d", &q); while( q-- ){ scanf("%d", &n); for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &a[i]); int ans=0, cnt=0; for(int i=1; i<=n; i++) if(a[i] & 1) ans ^= SG[n-i+1];//偶数个时可以重复操作抵消 for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=i+1; j<=n; j++) for(int k=j; k<=n; k++)//字典序 if((ans ^ SG[n-i+1] ^ SG[n-j+1] ^ SG[n-k+1]) == 0){//操作后先手必败 cnt++; if(cnt == 1) {printf("%d %d %d\n",i-1,j-1,k-1); break;} } if( !cnt ) printf("-1 -1 -1\n"); printf("%d\n", cnt); } return 0;}
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