NYOJ737 石子合并（一）(区间dp,详细)

描述

有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。

输入

有多组测试数据，输入到文件结束。 每组测试数据第一行有一个整数n，表示有n堆石子。 接下来的一行有n（0< n
<200）个数，分别表示这n堆石子的数目，用空格隔开

输出

输出总代价的最小值，占单独的一行

样例输入

31 2 3713 7 8 16 21 4 18

样例输出

9239

思路

区间DP的模型之一，题意是有n堆石头分别有自己的价值，相邻两堆可以合并，合并所需要的花费为两堆石子的价值之和，问把所有的石头合并为一堆，最小需要花费多少钱

dp[i][j]:以第i个为起点，第j个为终点，所需要的最小花费

sum[i]:第1个为起点,第i个为终点的，区间和

首先把sum算出来，然后我们进行合并

举个例子来说：

有4个石头，每一个的价值分别是 1 2 3 4,他们的对应下标也是1 2 3 4，现在要求出dp[1][4]的值,也就是把这些石头合并成一堆，所需要的最小花费

那么首先 :
dp[1][1]=dp[2][2]=dp[3][3]=dp[4][4]=0

当间隔为1时，我们很容易知道：
dp[1][2]=3,dp[2][3]=5,dp[3][4]=7

当间隔为2时：
dp[1][3]=min(dp[1][1]+dp[2][3],dp[1][2]+dp[3][3])+sum(1,3)=min(5,3)+6=9

dp[2][4]=min(dp[2][2]+dp[3][4],dp[2][3]+dp[4][4])+sum(2,4)=min(7,5)+9=14

当间隔为3时：
dp[1][4]=min(dp[1][1]+dp[2][4],dp[1][2]+dp[3][4],dp[1][3]+dp[4][4])+sum(1,4)
=min(14,10,9)+10=9+10=19

经过这一个模拟的过程，我们应该已经知道了区间DP的含义，依靠一个一个小区间来逐渐推导出大区间。

所以我们的关键代码为：

for(int k=i; k<j; k++)    dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);

那么本题的代码就很容易写出来了。

代码1(逆着推)

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cctype>#include <string>#include <set>#include <iostream>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <vector>#include <algorithm>#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define inf 0x3f3f3f3f#define mod 1000007#define N 220#define M 100000+50#define ll long longusing namespace std;int n;int a[N],sum[N],dp[N][N];int main(){    while(~scanf("%d",&n))    {        mem(a,0);        mem(sum,0);        mem(dp,0);        for(int i=1; i<=n; i++)        {            scanf("%d",&a[i]);            sum[i]=sum[i-1]+a[i];//求出前i项的和        }        for(int i=n; i>=1; i--)            for(int j=i+1; j<=n; j++)            {                dp[i][j]=inf;                for(int k=i; k<j; k++)                    dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);            }        printf("%d\n",dp[1][n]);    }    return 0;}

代码2（正着推）

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cctype>#include <string>#include <set>#include <iostream>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <vector>#include <algorithm>#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define inf 0x3f3f3f3f#define N 300#define ll long longusing namespace std;int dp[N][N],a[N],sum[N];int main(){    int n;    while(~scanf("%d",&n))    {        mem(sum,0);        mem(dp,0);        mem(a,0);        for(int i=1; i<=n; i++)        {            scanf("%d",&a[i]);            sum[i]=sum[i-1]+a[i];        }        for(int l=1; l<=n; l++)        {            for(int i=1; i+l<=n; i++)            {                int j=i+l;                dp[i][j]=inf;                for(int k=i; k<=j; k++)                    dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k-1]+dp[k][j]+sum[j]-sum[i-1]);            }        }        printf("%d\n",dp[1][n]);    }    return 0;}