HDU 6053 TrickGCD 莫比乌斯反演||筛法

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题意：给定一个序列Ai，构造一个序列Bi，满足Bi<=Ai并且gcd(Bi)>=2.  问有多少种Bi序列

正解：比赛的时候有点容斥的思路，但是感觉容斥太麻烦了，就换了题去搞，完全忘了莫比乌斯反演。。

显然我们要枚举gcd，然后对于每个gcd求所有（Ai/gcd）的乘积，最后再加起来，但是这个过程会有重复的，

需要容斥，用莫比乌斯函数即可，好像也有用类似于筛法一样的容斥也能过。

搜的网上题解大多数用莫比乌斯函数的都是在函数前面加一个负号，我不是太懂为什么，但是自己举了几个小例子也是满足这个负号的，后来看到一篇博客是直接套用的书上给的莫比乌斯反演公式：

定义f[n]表示n是最大公约数情况下的计数，F[n]为n是公约数情况下的计数。

这样∑f[i]（2<=i<=min(a[i])）就是要求的结果。

这样我写就明白多了嘛。。但还是希望能有大佬给解释一下为什么直接-μ（n）*F[n]也是可以的。

本题的难点还有一个就是如何快速求得（Ai/gcd）的乘积，我们可以维护一个前缀和数组b[],b[i]表示有多少Ai<=i，

然后我们类似筛法一样的枚举，假设当前枚举的gcd为d，那么j * d - 1 到 (j + 1) * d - 1 除以d的商都是j，结合b[]数组

我们就可以快速求出除以d商为j的Ai有几个了，这样复杂度和筛法差不多，nlogn数量级。

我看网上很多dalao用纯筛法的思路进行计数和容斥，也是很强的思路。

最后就是这是第一次写求莫比乌斯函数的代码，根据书上的定义写了很长，结果看网上大佬3行就解决了。。

代码：

#include<bits/stdc++.h>#define ll long long#define pb push_back#define fi first#define se second#define pi acos(-1)#define inf 0x3f3f3f3f#define lson l,mid,rt<<1#define rson mid+1,r,rt<<1|1#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)#define per(i,n,x) for(int i=n;i>=x;i--)using namespace std;const int mod = 1e9 + 7;typedef pair<int,int>P;const int MAXN=100010;int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}int f[MAXN];//f为moebius函数值 ll F[MAXN];/*void mobius(ll mn)  //大佬代码，mu[]即为moebius值 {      mu[1]=1;      for(ll i=1;i<=mn;i++){          for(ll j=i+i;j<=mn;j+=i){              mu[j]-=mu[i];          }      }  }  */void moebius(){    f[1] = 1;    for(int i = 2; i < MAXN; i++)    {        if(f[i] == 0)        {            for(int j = i; j < MAXN; j += i)            f[j]++;        }    }    for(int i = 2; i < MAXN; i++)    if(f[i] & 1)    f[i] = -1;    else    f[i] = 1;    for(int i = 2; i * i < MAXN; i++)    {        for(int j = i * i; j < MAXN; j += i * i)        f[j] = 0;    }}int a[MAXN];int b[MAXN * 2];//前缀和数组 ll qmul(int a, int b){    ll ans = 1, t = a;    while(b)    {        if(b & 1) ans *= t;        t *= t;        b >>= 1;        ans %= mod;        t %= mod;    }    return ans;}int main(){    int T;    moebius();    //for(int i = 1; i <= 20; i++)    //cout << f[i] <<" ";    cin >> T;    for(int kase = 1; kase <= T; kase++)    {        int n;        scanf("%d", &n);        memset(b, 0, sizeof(b));        for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", a + i), b[a[i]]++;        for(int i = 0; i < 2 * MAXN; i++) b[i] += b[i - 1];        int up = *min_element(a, a + n);        ll ans = 0;        for(int i = 2; i <= up; i++)//枚举gcd         {            ll num = 1;            for(int j = 1; j * i <= MAXN; j++)            {                num *= qmul(j, b[(j + 1) * i - 1] - b[j * i - 1]);                num %= mod;            }            F[i] = num;            //ans -= f[i] * num;            //ans = (ans % mod + mod) % mod;        }        for(int i = 2; i <= up; i++)        {            ll num = 1;            for(int j = 1; j * i <= MAXN; j++)            ans += f[j] * F[i * j], ans %= mod;            //ans -= f[i] * num;            //ans = (ans % mod + mod) % mod;            //cout << ans << endl;        }        printf("Case #%d: %lld\n", kase, ans);    }     return 0;}

定理：和是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件，那么我们得到结论

 

     

另一种描述：

 

 

在上面的公式中有一个函数，它的定义如下：

 

    （1）若，那么

    （2）若，均为互异素数，那么

    （3）其它情况下

 

 

对于函数，它有如下的常见性质：

 

    （1）对任意正整数有

  

                            

 

        （2）对任意正整数有

 

         

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