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题目

题意

给你两个数X和Y，要你构造一个三角形或一个四边形（凹凸任意），满足以下条件：

1.至少一个点的x坐标为0

2.至少一个点的x坐标为X

3.至少一个点的y坐标为0

4.至少一个点的y坐标为Y

5.图形面积为<=25000

6.任意点坐标(x,y)，x和y必须是整数，且范围：0<=x<=X，0<=y<=Y

数据范围：n个case，1<=n<=1e5，2<=X<=1e9，2<=Y<=1e9

分析

首先考虑下极限数据，X = Y = 1e9

数据很大，面积又规定2.5e4以内，那考虑下凹四边形，一个方案是这样的

四个点坐标分别是O(0,0),B(1e9-1,1e9),A(1,1),C(1e9,1e9-1)，这样面积是OA * BC / 2 = 1

这个策略是这样的：B的位置是(X,Y)这个点往左一格，即B(X-1,Y)，C的位置是(X,Y)这个点往下一格，即C(X,Y-1)

由于BC段长度固定为1，面积由A点坐标决定，设A(a,b)，考虑A坐标为整数时最接近O点的坐标取值

由于A点必须夹在OB和OC中间，由斜率有Y/(X-1) < b/a < (Y-1)/X，考虑b=Y且a=X的情况下不等式恒成立，也就是A点在右上角那里

但这样面积太大，由于分子分母同时除以一个数后，分式值不变，那么要在坐标为整数的情况下a和b取值最小

则令b = Y/g，a = X/g，g为X和Y的最大公约数

接下来计算此时面积S，我们先推导一个小公式，因为待会三角形也要用到，当然你硬着算也行。

推个OA一般式再代个点到直线距离，得此时面积S = |bc - ad|/2 ，因为B点在下方，由斜率，S = (bc-ad)/2

回到上面面积计算，分为OAB和OAC两个三角形，利用推导的公式，B(X-1,Y)，A(a,b)，C(X,Y-1)

面积S = (Y*a - b*(Y-1))/2 + (X*b - (Y-1)*a)/2 = (a+b)/2 = (X/g + Y/g)/2

问题在于g很小且X和Y很大的时候，面积会超过2.5e4的限制

考虑三角形，就再拿第二张图来用下好了，令A点为(X,Y)，即a = X,b = Y，已经推导S = (bc-ad)/2

观察bc-ad，c和d未知，a和b已知，很像exgcd的形式，ax-by，令g = gcd(a,b)，解方程bx-ay = g，此时面积S = g/2，这样，在g很小情况下，就可以构造一个满足要求的三角形

为什么题目是一定有解的？

我们看下两个面积，一个是S1 =(X/g + Y/g)/2，一个是S2 =g/2，试着将其相乘再开根，sqrt(S1*S2) = (sqrt(X+Y))/2<=25000

也就是说S1和S2不会同时超过25000，得证

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#define test(a) cout<<(a)<<endl#define test2(a,b) cout<<(a)<<" "<<(b)<<endl#define test3(a,b,c) cout<<(a)<<" "<<(b)<<" "<<(c)<<endl#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0)using namespace std;void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y) {    if(!b) {d = a;x = 1;y = 0;}    else {gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}}int myabs(int a) {    if (a>0) return a;    return -a;}void work() {    int a,b,g,x,y;    cin>>a>>b;    gcd(a,-b,g,y,x);    g = myabs(g);    if (g<50000) {        test(3);        test2(0,0);        test2(a,b);        test2(x,y);    }    else {        test(4);        test2(0,0);        test2(a-1,b);        test2(a/g,b/g);        test2(a,b-1);    }}int main() {    #ifdef local    freopen("in.txt","r",stdin);    #endif // local    int t;    cin>>t;    while(t--) work();}

本文参考了官方题解后写出