树上的博弈 51Nod

树上的博弈 51Nod - 1531

题目大意：

给出一棵树，每个叶子上都有一个权值，权值是N的一个排列，N为叶子数。对于每一种权值分布，AB两人交替将一个棋子从树根移动至叶子，每次只移动一步。A的策略是使得最后权值最大，B是想最小。

题目要求对于给定叶子权值的所有方式中，游戏最后的权值最大和最小是分别多少。

题目分析：

动态博弈类题目。这类题目玩家的策略往往是给定的，没有什么难度，照着要求树上DP决策即可。

这题难度在于状态函数的定义。对于每棵子树，没有办法将状态函数定义为先手最大/最小值是多少，因为每一数值都可以在任意一棵子树。

绝对的数值定义不行，我们就换一个思路，采用相对的定义。

先求最大值。定义f[u][0]:第一个人在子树u中先手，最少有多少个叶子的权值比最后的结果大。f[u][1]:第二个人在子树u中先手，最多有多少个叶子的权值比最后的结果大。

对于A来说，走向u的所有子树v中 f[v][1] 最小的点，并且将最大的 f[v][1] 个数安排在那里，这样结果才会最大。对于B来说，要让权值比最后的结果大的叶子尽可能的多，所以会选择一棵子树让第 ∑vf[v][0]大的值作为结果，这是他的最优决策。

最小值可类似的求出，考虑有多少叶子权值比结果小即可。

代码实现：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int maxn=2e5+100;int f[maxn][2],deg[maxn];int head[maxn],e[2*maxn],nex[2*maxn],cnt;void add_edge(int x,int y){  e[cnt]=y;nex[cnt]=head[x];head[x]=cnt++;  e[cnt]=x;nex[cnt]=head[y];head[y]=cnt++;  deg[x]++;deg[y]++;}void dp_max(int u,int fa){  int i,ans=maxn,sum=0;  for (i=head[u];i!=-1;i=nex[i]){    int v=e[i];    if (fa==v) continue;    if (deg[v]==1) {        ans=0;sum+=1;;    } else {        dp_max(v,u);ans=min(ans,f[v][1]);sum+=f[v][0]+1;    }  }  f[u][0]=ans;f[u][1]=sum-1;}void dp_min(int u,int fa){  int i,ans=maxn,sum=0;  for (i=head[u];i!=-1;i=nex[i]){    int v=e[i];    if (fa==v) continue;    if (deg[v]==1) {        ans=0;sum+=1;    } else {        dp_min(v,u);ans=min(ans,f[v][0]);sum+=f[v][1]+1;    }  }  f[u][0]=sum-1;f[u][1]=ans;}int main(){    int n,i,j,m;    scanf("%d",&n);    if (n==1) {        printf("1 1\n");        return 0;    }    int u,v;    memset(deg,0,sizeof(deg));    for (i=1;i<=n;i++) head[i]=-1;    cnt=0;    for (i=1;i<n;i++) {        scanf("%d %d",&u,&v);        add_edge(u,v);    }    m=0;    for (i=1;i<=n;i++) m+=deg[i]==1;    if (deg[1]==1) m--;    //memset(f,-1,sizeof(f));    dp_max(1,0);    printf("%d ",m-f[1][0]);    //memset(f,-1,sizeof(f));    dp_min(1,0);    printf("%d\n",f[1][0]+1);    return 0;}