《剑指offer》笔记-第5章（2）

面试题42：连续子数组的最大和

      输入一个整型数组，数组里有正数也有负数。数组中一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度是O(n)。例如，数组为{1,-2，3,10,-4,7,2,-5}，和最大的子数组为{3,10,-4,7,2}，输出位18。

测试用例：

      功能测试：数组中有正数也有负数；数组中只有正数；数组中只有负数；

      特殊输入：数组为null；

分析：

      分析累加子数组的规律{1,-2，3,10,-4,7,2,-5}：

      1.    维护两个值，当前累加的子数组和nCurSum、最大的子数组和nGreatestSum，初始化为0；

      2.    第一步加1，nCurSum为1，nGreatestSum为1；

      3.    第二步加-2，nCurSum为-1，nGreatestSum为1；

      4.    第三步应加上3，但此时nCurSum<=0，说明如果相加，得到的结果比当前的数字还要小，说明从第一步开始累加小于从第三步开始累加，则抛弃之前的累加，nCurSum为3，nGreatestSum为3；

      5.    第四步加10，nCurSum为13，nGreatestSum为13；

      6.    第五步加-4，nCurSum为9，nGreatestSum为13；保存之前的13是因为这有可能是最大的子数组和；

      7.    第六步加7，nCurSum为16，nGreatestSum为16；

      8.    第七步加2，nCumSum为18，nGreatestSum为18；

      9.    第八步加-5，nCurSum为13，nGreatestSum为18；

      动态规划法：

      10.  f(i)表示以第i个数字结尾的子数组的最大和。函数要求出的是max[f(i)]。

      11.  当i= 0或者f(i-1)<=0时f(i) = pData[i]；

      12.  当i!=0并且f(i-1)>0时，f(i) = f(i-1) + pData[i]

      13.  F(i)对应上一方法的nCurSum，max[f(i)]对应上一方法的nGreatestSum；

      处理无效输入：

      14.  输入数组是null、数组长度小于等于0，返回0，并且定义一个全局变量标记输入无效（定义全局变量是为了区别无效返回0和最大值是0）

面试题43：1~n整数中1出现的次数

      输入一个整数n，求1~n这n个整数的十进制表示中，1出现的次数。例如输入12，1至12的整数中，包含1的有1/10/11/12，1一共出现5次。

测试用例：

      功能测试：输入0/1（边界）；输入其他整数；

      性能测试：输入较大的数字10000等：

分析：

      1.    得到每位数字的方法是：循环对10求余，除以10替换原数，直到原数等于0；

      2.    从1到n，对每一个数字，判断每一位数字是否是1，累加1的个数；对于数字n，n有O(logn)位，判断每一位是否是1的复杂度是O(logn)，那么算法复杂度是O(nlogn)，效率不高；

      分析数字规律：

      3.    例如1~21345，分成两段，一段是1~1345，一段是1346~21345；

      4.    对于1346~21345，1出现在最高位是10000~19999，一共10000次，如果最高位是1即1~11345，则最高位1出现是10000~11345，出现次数是1345+1；

      5.    对于1346~21345，分析1出现其他位的情况，由于最高位是2，拆分为1346~11345和11346~21345；每一段后4位数字，选择其中一位是1，其余3位可在0~9任意选择，排列组合一共出现的次数是2*4*1000=8000。

      6.    对于1~1345，可用步骤3/4/5的方法，递归求出；

      7.    每次去掉最高位进行递归，递归的次数和位数相同。n有O(logn)位，复杂度是O(logn)；

 

面试题44：数字序列中的某一位的数字

      数字以0123456789101112131415……的格式序列化到一个字符序列中。写一个函数，求出任意第n位对应的数字（从第0位开始计数）。

测试用例：

      边界测试：输入0/1；

      功能测试：输入其他整数；

分析：

      1.    例如，输入1001，即求序列0123456789101112……的第1001位的数字；

      2.    0~9这10个数字，是前10位；10~99这90个数字接下来的2*90=180位；100~999这900个数字，是接下来的3*900=2700位；

      3.    1001位在三位数中的一个数中：1001>10，说明在一位数之后；1001-10=991>90，说明在两位数之后；1001-10-180=811<2700，说明在三位数中的一个；811=3*270+1，说明位于第270个三位数之后的一个数的中间位，即370的中间位即7。（100是第一个三位数，101是第二个三位数，100+270=370是第270+1个三位数）