动态规划——最长非降子序列的长度

动态规划——最长非降子序列的长度

题目描述：

要求得到一个数组的以非降排列的子序列的最大长度，其中并不要求子序列中的元素一定是按照数组顺序的连续数值。

以6 , 4 , 5 , 8 , 7 , 3 , 9为例，最长非降子序列为{4，5 , 8 , 9}和{4，5 , 7 , 9}，相应的其长度为4。

解题思路：

因为子序列的定义并不要求元素是数组中连续的数，我们也不得而知最长子序列将从哪一个地方开始，所以不能像连续子序列那样用遍历的方式去找到最长子序列的开始位置和结束位置。那么我们能考虑的就是针对数组中每一个元素去确定：当数组游标从开头走到某元素时，以该元素结尾的最长非降子序列的长度是多少。这样我们比较以每一个数组元素结尾的非降子序列的长度就可以得到最大长度。

解题过程：

1. 声明一个与原数组arr长度一样的数组num, num[i]表示以arr[i]结尾的最长非降子序列的长度
2. 分析得到动态规划的递推式
   (1)num[0] = 1：以arr[0]=6结尾的子序列{6}的长度为1
   (2)num[1] = 1 : 以arr[1]=4结尾的子序列{4}的长度为1
   (3)num[2] = 2 : 以arr[2]=5结尾的子序列{4,5}的长度为2
   (4)num[3] = 3 : 以arr[3]=8结尾的子序列{4,5,8}的长度为3
   (5)num[4] = 3 : 以arr[4]=7结尾的子序列{4,5,7}的长度为3
   (6)num[5] = 1 : 以arr[5]=3结尾的子序列{3}的长度为1
   (7)num[6] = 4 : 以arr[6]=9结尾的子序列{4,5,8,9}和{4,5,7,9}的长度为4
   (8)也就是说数组arr中任意元素i的num[i]等于它前面的、值比它小的元素j的num[j]的最大值加1，如果它前面没有值比它小的数那么num[i]=1;
   即num[i] = max(1,num[j]+1) 其中j< i ,且arr[j] <= arr[i]
3. java实现

public class Main {    public static void main(String[] args) {        int [] arr = {6,4,5,8,7,3,9};        int[] num = new int[arr.length];        int length = 0;        for(int i = 0;i<num.length;i++){            num[i] = 1;            for(int j =0;j<i;j++){                if(arr[j]<=arr[i]&&Math.max(1,num[j]+1)>num[i]) num[i] = Math.max(1,num[j]+1);            }            if(num[i]>length) length = num[i];        }        System.out.println(length);    }}

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