51Nod-1135-原根

51Nod-1135-原根

                1135 原根设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）给出1个质数P，找出P最小的原根。Input输入1个质数P(3 <= P <= 10^9)Output输出P最小的原根。Input示例3Output示例2

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解题方法
原根涉及到数论，数论神马的看得我头疼，看了很久才整理好了思路，下面我说说自己对此题的理解。当然，里面还是有些理解不到位的地方。

欧拉函数φ(P): [1,P)中与P互质的整数。
而该题P一定为质数，质数与任何数都互质，故而φ(P) = P-1

阶：gcd(a,P)=1,使得ar≡1(modP) 成立的最小的r，称为a对模P的阶。

综上，求原根即求能使得aφ(P)≡1(modP) 成立的最小的a值。
该题只要有a满足ap−1≡1(modP) 成立,那么a就是P的一个原根。

但是根据费马小定理，会发现，此时无论a取何值，ap−1≡1(modP) 都会成立。
这时要记得阶的定义，p-1要是ar≡1(modP) 成立的最小值，如果还有比p-1小的数w,也使得ar≡1(modP) 成立，那么这时的a不成立。

如果指数不为P－1时也想满足ar≡1(modP) ，则该指数一定是P－1的因子。并且指数要小于P－1−−−−√

故而求出所有的P-1的质因子，判断是否满足ar≡1(modP) ， 若是没有一个因子满足，则a为P的原根，否则不是。

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解题代码

import math#求出P-1的质数因子，存入列表A中def store(A, P):    tmp = int(math.sqrt(P-1)) + 1    now = P-1    for i in range(2, tmp+1):        if now%i == 0:            A.append(i)        while now%i == 0:            now //= i    if now != 1:        A.append(now)#判断val^i % P 是否为1,i为P-1的质因子#如果为1，那么就不是P的原根#当且仅当i=P-1，val^1%P=1成立时，val才为P的原根def check(A, P, val):    for a in A:        if pow(val, (P-1)//a, P) == 1:            return False    return True#封装函数，遍历求最小val,且1<val<Pdef solve(A, P):    for val in range(2, P):        if check(A, P, val):            return val    return 0while True:    try:        A = []        P = int(input())        store(A, P)        print(solve(A,P))    except EOFError:        break