欧拉函数有关式ϕ(n)/(n-1)值递减序列性质

欧拉函数有关式 ϕ(n)/(n-1)值的递减序列性质

昨天vijos上有个模拟赛，T2比较有趣。

上题

描述

欧拉函数 $\varphi (n)$ 统计了 $1$ 到 $n$ 中与 $n$ 互素的数字个数，例如 $\varphi (9)=6$。

现在给定正整数 $A$ 和 $B$，请找出最小的正整数 $n$ 满足 $\frac{\varphi (n)}{n-1}<\frac{A}{B}$。

格式

输入格式

输入只有一行，是两个正整数 $A$ 和 $B$，满足 $1\le A<B\le 10^6$。

输出格式

输出一个正整数，表示最小满足条件的 $n$。

样例1

样例输入1

1 2
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样例输出1

6
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样例2

样例输入2

2 5
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样例输出2

12
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限制

对于 $20\%$ 的数据，保证答案不超过 $10^7$。

对于 $30\%$ 的数据，保证答案不超过 $2.5\times 10^8$。

对于 $40\%$ 的数据，保证答案不超过 $7\times 10^9$。

对于 $50\%$ 的数据，保证答案不超过 $2.5\times 10^{11}$。

对于 $60\%$ 的数据，保证答案不超过 $3.5\times 10^{14}$。

对于 $70\%$ 的数据，保证答案不超过 $1.5\times 10^{16}$。

对于 $80\%$ 的数据，保证答案不超过 $7\times 10^{17}$。

对于 $90\%$ 的数据，保证答案不超过 $3.5\times 10^{30}$。

对于 $100\%$ 的数据，保证答案不超过 $10^{200}$。

每一组数据的时限为 $1$ 秒。

这题数据范围一脸不可做的样子= =

于是我们考虑找规律（emmmm不要问我为啥找规律因为我只会找规律qwqwqwqwqwq）

由于题目要求找最小的n，我们运用贪心的思想，找该函数值的递减序列。

我们先从1开始枚举，找10000以内的递减序列

于是我们发现这个数列有不断迭代的特点，即

for（i=r;;i+=r)

if(ϕ(n)==ϕ(n-r))r=i;

于是我们尝试验证，对比两个程序的结果

我们再扩展到100000

这个规律似乎是对的qwq，而且效率特别高

于是昨天我就这么做了非高精的部分

T2得了80分

今天上午我又尝试找了一下迭代位置n值的关系

nϕ(n) (n-1)/ϕ(n)

又发现了神奇的质数序列

我这个蒟蒻正在尝试利用这个规律A掉这道题qwq

附上找规律的两个程序

1：

#include<cstdio>
long long m;
long double c=10; 
long long phi(long long n)
{
    long long ans,i,k;
    if(n==1) 
        ans=1;
    else
{        
      ans=n;
      k=1;
      for(i=2;n!=1;i+=k)
 {
        if(n%i==0)
{
ans/=i;
            ans*=(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
            i=k;
        }
      }
    }
    return ans;
}
int main()
{
for(long long i=1;i<100000;++i)
{
m=phi(i);
if(m/1.0/(i-1)<c)c=m/1.0/(i-1),
printf("%lld      %lld      %llf\n",i,m,m/1.0/(i-1));
}
return 0;
}

2：

#include<cstdio>
long long m,r;
long double c=1; 
long long phi(long long n)
{
    long long ans,i,k;
    if(n==1) 
        ans=1;
    else
{        
      ans=n;
      k=1;
      for(i=2;n!=1;i+=k)
 {
        if(n%i==0)
{
ans/=i;
            ans*=(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
            i=k;
        }
      }
    }
    return ans;
}
int main()
{
r=1;
for(long long i=r;i<100000;i+=r)
{
m=phi(i);
if(if(i-r>0)&&m==phi(i-r)) r=i;
printf("%lld      %lld      %llf\n",i,m,m/1.0/(i-1));
}
return 0;
}

再附上80分迭代：

#include<cstdio>
long long r,m,a,b;
long double c;
long long phi(long long n)
{
    long long ans,i,k;
    if(n==1) 
        ans=1;
    else
{        
      ans=n;
      k=1;
      for(i=2;n!=1;i+=k)
 {
        if(n%i==0)
{
ans/=i;
            ans*=(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
            i=k;
        }
      }
    }
    return ans;
}
int main()
{
r=1;
scanf("%lld%lld",&a,&b);
c=a/1.0/b;
for(long long i=r;i>0;i+=r)
{
m=phi(i);
if(i-r>0&&m==phi(i-r)) r=i,
if(c>m/1.0/(i-1))
{
printf("%lld",i);
return 0;
}
}
return 0;
}

啊对了，每次迭代（r的值改变）时，n的值与上一次迭代的值的商成质数序列

有关的数学证明等我学完高中数学吧qwq，作为高一新生的我积累还太少啊