数字信号处理课程笔记1

这里主要是对教科书（胡广书版）第一章的读书笔记。

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信号的区分

1. 连续信号：时间轴和幅值都连续； 离散信号：时间轴离散，而幅值连续；数字信号：时间轴和幅值都离散。
2. 随机信号和确定性信号
3. 周期性信号和非周期性信号
4. 能量有限信号和能量无线信号
   
   1. 能量的定义：E=∫∞−∞|x(t)|2dt或者E=∑∞−∞|x(n)|2
   2. 功率的定义：P=limT−>∞1T∫T/2−T/2|x(t)|2dt或者P=limN−>∞12N+1∑N−N|x(n)|2

几种常见离散信号

1. 冲激信号δ(n)={10n=0n≠0
2. 单位阶跃序列u(n)={10n≥0n<0
3. 正弦序列x(n)=Asin(2πfnTs+ϕ)
   
   1. f是频率，单位是Hz
   2. Ω=2πf是连续信号的连续角频率，单位是rad/s。
      
      1. f和Ω是一一对应的，在连续信号的情况下。
   3. ω=2πfTs=2πf/fs是圆周频率，单位是rad，其中fs=1/Ts为抽样频率。
      
      1. 在离散信号的情况下，因为圆周频率ω的范围是−π∼π，所以f的范围是−fs/2∼fs/2。

离散系统的定义与性质

1. 定义：y(n)=T[x(n)]
   
   1. 单位抽样响应：h(n)=T[δ(n)]，其反应了系统的固有特征，用于描述离散系统的一个重要参数。
      
      1. 单位抽样响应分为有限冲激响应（FIR），和无限冲激响应（IIR）。
2. 线性性质：T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]
3. 移不变性：T[x(n−k)]=y(n−k)
4. 因果性：任意时刻的输出只与现在时刻和过去时刻的输入有关，而与将来时刻的的输入无关，则称其为因果系统，否则为非因果系统。
   
   1. 具有因果性的LSI系统的单位冲激响应在n<0的部分均为0。
5. 稳定性：输入输出均有界，则该系统是稳定的。
   
   1. 稳定性的充要条件是：单位冲激响应h(n)满足∑∞n=−∞|h(n)|<∞
6. 线性移不变离散时间系统（LSI）：具有线性性和移不变性的离散变换系统

LSI系统的输入输出关系：线性卷积

具体地，x(n)=∑∞k=−∞x(n)δ(n−k)=∑∞k=−∞x(k)δ(n−k)。因为LSI系统具有线性性和移不变性，所以有y(n)=T[x(n)]=∑∞k=−∞x(k)h(n−k)=∑∞k=−∞x(n−k)h(k)=x(n)∗h(n)。

卷积的操作包括翻转、移动、相乘和求和。