矩阵快速幂（求斐波拉契数列的第N项）

来源：互联网发布：免费手机文字扫描软件编辑：程序博客网时间：2024/05/17 03:42

快速幂原理（二进制及二分思想）

把n个矩阵进行两两分组，比如：A*A*A*A*A*A => (A*A)*(A*A)*(A*A)

这样变的好处是，你只需要计算一次A*A，然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。

其实大家还可以取A^3作为一个基本单位。原理都一样：利用矩阵乘法的结合律，来减少重复计算的次数。

以上都是取一个具体的数来作为最小单位的长度，这样做虽然能够改进效率，但缺陷也是很明显的，取个极限的例子（可能有点不恰当，但基本能说明问题），当n无穷大的时候，你现在所取的长度其实和1没什么区别。所以就需要我们找到一种与n增长速度”相适应“的”单位长度“，那这个长度到底怎么去取呢？？？这点是我们要思考的问题。

有了以上的知识，我们现在再来看看，到底怎么迅速地求得矩阵的N次幂。

既然要减少重复计算，那么就要充分利用现有的计算结果咯！~怎么充分利用计算结果呢？？？这里考虑二分的思想。。

大家首先要认识到这一点：任何一个整数N，都能用二进制来表示。

比如A^19 => （A^16）*（A^2）*（A^1），显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的，比如A^4能通过(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通过(A^4)*(A^4)得到，这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明：

现在要求A^156,而156(10)=10011100(2)

也就有A^156=>(A^4)*(A^8)*(A^16)*(A^128) 考虑到因子间的联系，我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端。细节就说到这，下面给核心代码：

while(N) {                if(N&1)                       res=res*A;                N>>=1;                A=A*A; }

里面的乘号，是矩阵乘的运算，res是结果矩阵。

第3行代码每进行一次，二进制数就少了最后面的一个1。二进制数有多少个1就第3行代码就执行多少次。

我们在做很多”连续“的问题的时候都会用到二进制将他们离散简化

1.多重背包问题

2.树状数组

3.状态压缩DP

……………还有很多。。。究其根本还是那句话：化连续为离散。。很多时候我们并不是为了解决一个问题而使用二进制，更多是时候是为了优化而使用它。所以如果你想让你的程序更加能适应大数据的情况，那么学习学习二进制及其算法思想将会对你有很大帮助。

详见：点击打开链接

快速幂取膜

long long qulpow(long long x,long long y,long long MOD){    long long tmp=1;    x=x % MOD;    while(y!=0)    {        if(y&1)            tmp=(tmp*x) % MOD;        x=(x*x) % MOD;        y>>=1;    }    return tmp;}

矩阵相乘

    const int MOD=10000;      struct mat      {          int a[2][2];//这里数据范围就用小的示范      };      mat mat_mul(mat x,mat y)//实现两个矩阵相乘，返回的还是一个矩阵。      {          mat res;//用来表示得到的新的矩阵；          memset(res.a,0,sizeof(res.a));          for(int i=0;i<2;i++)              for(int j=0;j<2;j++)              for(int k=0;k<2;k++)          {              res.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];              res.a[i][j]%=MOD;//这一步看题目具体需要了          }          return res;      }

或

    const int N=100;      int c[N][N];      void multi(int a[][N],int b[][N],int n)      {          memset(c,0,sizeof c);          for(int i=1;i<=n;i++)              for(int j=1;j<=n;j++)                 for(int k=1;k<=n;k++)                    c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];      }

矩阵快速幂

const long long MOD=1e9+7;long long n,res;struct Node{    long long c[2][2];}t;Node mult(Node a, Node b){    Node c = {0};    for(int i = 0; i < 2; i++)    for(int j = 0; j < 2; j++)    for(int k = 0; k < 2; k++)    {        c.c[i][j] += (a.c[i][k] * b.c[k][j]) % MOD;//MOD根据题目需要选取        c.c[i][j] %= MOD;    }    return c;}Node pow(long long n){    Node pt = t;    if(n < 0) return pt;    while(n)    {        if( n & 1 )        {            pt = mult(pt, t);            n--;        }        t = mult(t, t);        n >>= 1;    }    return pt;}long long solve(long long n){    t.c[0][0] = 1;    t.c[0][1] = 1;    t.c[1][0] = 1;    t.c[1][1] = 0;    Node ans = pow(n-2);    res=ans.c[0][0] * 1;    return res;//res即为第n项斐波拉契数的结果}

或

    const int N=10;      int tmp[N][N];      void multi(int a[][N],int b[][N],int n)      {          memset(tmp,0,sizeof tmp);          for(int i=1;i<=n;i++)              for(int j=1;j<=n;j++)              for(int k=1;k<=n;k++)              tmp[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];          for(int i=1;i<=n;i++)              for(int j=1;j<=n;j++)              a[i][j]=tmp[i][j];      }      int res[N][N];      void Pow(int a[][N],int n)      {          memset(res,0,sizeof res);          for(int i=1;i<=n;i++) res[i][i]=1;          while(n)          {              if(n&1)                  multi(res,a,n);//res=res*a;复制直接在multi里面实现了；              multi(a,a,n);//a=a*a              n>>=1;          }      }

先通过入门的题目来讲应用矩阵快速幂的套路(会这题的也可以看一下套路)：

例一:http://poj.org/problem?id=3070
题目：斐波那契数列f(n),给一个n，求f(n)%10000,n<=1e9;

(这题是可以用fibo的循环节去做的，不过这里不讲，反正是水题)

矩阵快速幂是用来求解递推式的，所以第一步先要列出递推式:

f(n)=f(n-1)+f(n-2)

第二步是建立矩阵递推式，找到转移矩阵:

,简写成T * A(n-1)=A(n)，T矩阵就是那个2*2的常数矩阵，而

这里就是个矩阵乘法等式左边:1*f(n-1)+1*f(n-2)=f(n);1*f(n-1)+0*f(n-2)=f(n-1);

这里还是说一下构建矩阵递推的大致套路,一般An与A(n-1)都是按照原始递推式来构建的，当然可以先猜一个An,主要是利用矩阵乘法凑出矩阵T,第一行一般就是递推式，后面的行就是不需要的项就让与其的相乘系数为0。矩阵T就叫做转移矩阵(一定要是常数矩阵),它能把A(n-1)转移到A(n);然后这就是个等比数列，直接写出通项:此处A1叫初始矩阵。所以用一下矩阵快速幂然后乘上初始矩阵就能得到An,这里An就两个元素(两个位置)，根据自己设置的A(n)对应位置就是对应的值，按照上面矩阵快速幂写法，res[1][1]=f(n)就是我们要求的。