51nod 1107 斜率小于0的连线的数量 （逆序数）

传送门：51nod 1107

题目大意：给出平面上的 n 个点，求两两连线中斜率小于 0 的连线的数量。

前置技能：

1.用树状数组求逆序数。其思路为：树状数组每个节点有个对应的区间，每个节点表示它所表示的下标区间内数字（或者说比节点下标小的数）出现的次数 。当插入第 i 个数字 a[i] 的时候，它会和之前插入的比它大的数形成逆序数，所以插入该数产生的逆序数数为 区间长度 - 已经插入的比该数小的数。已经插入的比该数小的数也就是下标为a[i] 的节点所表示的区间内数的个数。

2.数据离散化。如果数据范围太大我们就不可能直接开数组保存，而如果变量的数据只关注大小的话，我们就可以用其排序后的下标代替该变量。常用的方法是先用 sort 排序，然后用 lower_bound 函数找出每个变量在排序后的下标。

思路：

这个题是怎么和逆序数扯上关系的呢？我们先假设某个点坐标为 (x,y) ,若存在另一点和该点的连线斜率小于 0，则比存在另一点的坐标为 (x+a,y-b) 或 (x-a,y+b) ，其中 a、b 为任意正整数。

如果我们数据是已经按照 x 坐标排好序的了呢？那么插入当前点的时候，该点横坐标一定比前面的都大，所以只要找出前面插入过的比当前点的 y 坐标小的点的个数就是新增加的斜率小于 0 的线的数量。是不是有点眼熟呢？对当前插入的点，求之前插入的点的 y 坐标比当前点小的数量。这不就是求逆序数吗？

桥都麻袋，你可能会说，如果两个点的横坐标一样不就不能处理了吗？我们可以在排序的时候让 x 坐标相同的按照 y 坐标升序排，这样 x 坐标相同的点之间就不会产生逆序数了。

具体实现：

先将数据先按照横坐标升序再按照纵坐标升序排序。由于数据范围很大，需要离散化处理，不过如果按照 x 坐标排序的话，只需要对 y 坐标离散化。之后就是求逆序数的过程了。

注意：

由于用到树状数组，对于插入的每个数都不能为 0，可以将每个数都 +1，就保证全为正数了。

代码：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;int t[50010*2]; //树状数组 struct node{ //点 int x,y;} a[50010];int cmp(node aa,node bb){ //排序比较函数 if(aa.x==bb.x) return aa.y<bb.y;else return aa.x<bb.x;}void update(int x){ //将第x个数加 1 int i;for(i=x;i<50010*2;i+=i&-i)t[i]++;}int query(int x){ //查找当前输入的数中比 x 小的数的个数 int i,ans=0;for(i=x;i>0;i-=i&-i)ans+=t[i];return ans;}int main(){int i,n,ans,y[50010];scanf("%d",&n);for(i=0;i<n;i++){scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);y[i]=a[i].y;}sort(y,y+n);sort(a,a+n,cmp);for(i=0;i<n;i++) a[i].y=lower_bound(y,y+n,a[i].y)-y+1; //离散化处理 ans=0;for(i=0;i<n;i++){ //对插入当前点求新产生的逆序数 update(a[i].y);ans+=i+1-query(a[i].y);}printf("%d\n",ans);return 0;}