赌徒策略与机率

最近在准备一份讲稿，内容是常见的百家乐游戏，主题是一个有趣的赌徒策略。(假设你已经知道百家乐的规则)

　　我们先看这个策略：假设在一场赌局中，出庄和出闲的机率完全一样，庄家不出老千，那们我们按以下策略去买闲：一开始押一块钱（闲），如果出和，则重新押一块钱（闲）；如果出庄（输了），那么下次就押两块（闲），再错则继续加倍。一旦压对了，我们永远可以保证每次会有一块钱的进帐。当每次压对之后，又重新从１块钱开始。

　　这好像是个稳赢不输的法则。但问题在于，只要你连续输了K局，你要再下注就必需有B乘以(2的K次方)的赌注(B为初始注金)。个人的本金有限，只遇上连输的情况时，就会因没有注金而无法翻本，从而输得干净。

　　由此，引申了一个更有趣的问题，在N局牌局中，连续出现K局相同结果(庄)的机率有多少？

　　我们计算抛硬币游戏中，连续出现5次正面的机率。很简单，是1/32,也就是3.125%。但是在连续30次抛硬币中，出现5次以上正面的机率是多少呢？结果要远大于大多数人的直觉。看下面

定义：

   Cn/m表示从m个对象当中取出n个的组合数。

   F(N,K)表示，做N次的独立随机实验，所有可能出现的结果中，至少一组连续出现K次以上某个结果的次数。

当投掷一个硬币N次时，至少一组连续出现K次以上正面的机率。

条件：硬币只有两个面，出现正面和反面的机率是一样。

计算方法为先计算N次实验所有可能出现的组合数，再计算其中出现连续K次以上正面的次数：

可能出现的组合为：(C1/2)^N

可能出现连续K次以上正面的次数为：

公式一：

F(N,K)= F(N-1,K)* (C1/2)+ (C1/2)^(N-K-1)-F(N-K-1,K)

思路是推导法，F(N,K)= F(N-1,K)*最后一掷可能的结果数，再加上前N-1次中最后K-1次全掷出正面(且前面从未掷出过连续K个正面)，并且最后一次也投出正面的次数。

其中F(N-1,K)表示投掷N-1次中连续出现五次正面的次数

F(N-1,K)*(C1/2)，因为前N-1次中已经掷出至少五次正面，这时无论最后一次结果如何，都肯定出现了连续五次正面。因为多投掷了一次，所以总数乘以(C1/2)。

(C1/2)^(N-K-1)-F(N-K-1,K)表示前N-1次中的最后4次掷出了四次正面，且第N次为正面，而且之前从未掷出过5次正面的组合数。这个表示因为多投掷一次而使原来只有4次连续正面变为连续五次正面的组合数。减去F(N-K-1,K)是去掉之前已经掷出过5次正面的组合数。

 

　　我们把问题再扩展一下，当不再只有两种结果时，连续出现某个相同结果K次以上的机率。

条件：某独立随机事件有E个结果，并且每个结果出现的机率完全一样。

则重复N次这个事件中，连续出现同一结果K次的机率为：

   思路和上面完全一样，只是公式有所扩展：

公式二：

F(N,K)=F(N-1,K)*(C1/E)+ (C1/E)^(N-K-1)*(C1/E-1)-F(N-K-1,K) *(C1/E-1)

这个公式以上面的公式是完全一样的，上面那个公式只是一个只有两个结果时的简化版。

 

　　继续把问题扩展，当这个事件，每一个结果发现的概率不一样时，连续出现某个相同结果K次的机率是多少。（同样不包括连续出现K次以上）

条件：某独立随机事件有E个结果，其中结果A发现的概率是P。

则重复N次这个事件中，连续出现结果A，N次的机率为：

   我的思路是，把这个结果发生的概率，想象成为多个概率相同的结果中的一个。比如，A结果发生的概率是25%，可以把它想象为一共有四个结果，并且每个结果出现的机率完全一样，再套用上面第二个公式去计算。

   如果这个概率是不能被1整除，比如30%，则可以想象成为有10个结果，把其中3个结果归为一类，计算连续出现这一类结果K次的机率。

   举个例子，比如A结果出现的概率是49.315%，计算在N次实验中连续出现A结果K次的机率这个问题，可以理解为有100000个结果，把其中的49325个结果归为一类，连续出现这一类结果K次的机率。套用公式二后，计算为：

F(N,K)=F(N-1,K)*C(1/100000)+ C(1/100000)^(N-K-1)*(C1/50675)*C(1/49325)^K-F(N-K-1,K)* (C1/50675)

 

　　最终，计算做N次独立随机事件中，至少一次出现了连续K个相同结果的概率公式为：

F(N,K) / (C(1/P)^N)

条件：每个结果出现的概率相同，为1/P

F(N,K)=F(N-1,K)*(C1/P)+ (C1/P)^(N-K-1)*(C1/P-1)-F(N-K-1,K) *(C1/P-1)

当N<K时，F(N,K)=0

当N=K时，F(N,K)=1

 

　　最后给出百家乐游戏的赔率表

 

百家乐使用八副牌时的机率

投注

组合

机率

庄赢

2,292,252,566,437,888(两亿个亿)

45.86%

闲赢

2,230,518,282,592,256

44.62%

和局

475,627,426,473,216

9.52%

 

百家乐使用六副牌时的机率

投注

组合

机率

庄赢

403,095,751,234,560

45.87%

闲赢

392,220,492,728,832

44.63%

和局

83,552,962,932,288

9.51%

 

百家乐使用一副牌时的机率

投注

组合

机率

庄赢

6，737，232，640

45.96%

闲赢

6，548，674，432

44.68%

和局

1，372，227，328

9.36%