连续傅里叶

由维基知道连续傅里叶来源：

The heat equation is a partial differential equation. Prior to Fourier's work, no solution to the heat equation was known in the general case, although particular solutions were known if the heat source behaved in a simple way, in particular, if the heat source was a sine or cosine wave. These simple solutions are now sometimes called eigensolutions. Fourier's idea was to model a complicated heat source as a superposition (or linear combination) of simple sine and cosine waves, and to write the solution as a superposition of the corresponding eigensolutions. This superposition or linear combination is called the Fourier series.（傅里叶之前只可以解决加热函数是sine或者cosine函数时才可以，可以推断出傅里叶在这个基础上考虑将一般的问题转为一系列consine或者sine函数想加，也容易想到）

 

对连续傅里叶的两种表达形式熟悉（一般的和复数表达式）

 

连续傅里叶的公式理解记忆：

（1） 对周期函数：

f(x) = a₀ /2 + ∑a_kcosnx + b_ksin nx;

其中  a₀ = 1/ π ∫f(x）dx;

 

注意到： 无论sinx还是cosx在一个周期的积分都是0，cosnx,sinnx在一个2π的周期是只是增加了波数量而已，对积分结果没有影响。这是计算出a_k和b_k的出发点。 

 

 

 

 

 

如果n不等于m，那么必然等于0.   如果n=m 那么后面cos0=1,因而总的结果是π

 

历史过程：

先是欧拉，伯努利，拉格朗日等人关于函数的论战。1777年，以上两个公式推导出。后来，为了解决造船过程中如何烘干木头的问题，傅里叶提出连续变换，并根据不同三角函数系乘积积分为0，提出几个系数的解法。

 

 

在此过程中出现的

    

 

   等，傅里叶并未给出变换理由，这一工作由柯西完成。

 

 

 

 

 

 

   这个完成从2π为周期转换到以2L为周期的函数。

 

 

 

 

暂时来看，只有周期函数才可以写成傅里叶级数的形式。

 

http://www.xuezhishi.com/play/?5664-0-0.html   80分钟例题。

 

 

 

傅里叶复数形式：

1.欧拉公式推导：

2.函数的连续傅里叶复数表达式：

旋转----- 函数系数平移互相对应