一道概率题

描述RANDOM(a, b)过程的一种实现，它只调用RANDOM(0, 1)。作为a和b的函数， 你的程序的希望运行时间是多少？

 

分析：我试了试几种方法，都不可以直接使用RANDOM(0,1)生成出空间元素数非2的N次幂的标准随即实现。我想可能只有一种方法，就是先将解空间扩展到2的N次幂，然后根据结果决定是否得到了希望中的解。

举例来说，如果我们要生成（1，5）的随机数生成器，首先将解空间扩展到2的3次幂，即8。也就是我们求（1，8）的随机数生成器。RANDOM(0,1) = 0， 即继续在（1，4）中求解，RANDOM(0,1) = 1，即继续在（5，8）中求解。依次递归下去。如果最后生成的解属于（1，5），即求解结束，否则本次求解失败，重新开始求解。

 

证明解的正确性：对于(a,b)，解空间中一共有n = b-a+1个元素。如果n是2的幂，可以很容易得到每个元素被选择的概率是1/n。如果n不是2的幂，架设n+k是大于n的最小的2的幂。对于每一个属于(a,b)的数最终成为解的概率都是1/(n+k)，所以如果找到解，则该解是一个随机数。

 

下面计算算法的复杂度：对于(a,b),设m是大于或者等于n = (b-a+1)的最小的2的幂。对于一次成功求解，复杂度为O(lgm)。那么取得成功解的概率为(n/m)。则我们得到解的复杂度函数

           --    O(log (m)) (n/m)

f(n) =

         --      f(n) ((m-n) / m)

也就是

f(n) = (n/m) * log(m) + [(m-n)/m] * f(n), 有f(n) = log(m)

这个计算是错误的。设X=O(log(m)), p = n/m, 结果的复杂度应该一个多项式：f = x*p*(1 + (1-p) + (1-p)(1-p) + (1-p)(1-p)(1-p) + ...)