一道概率题

假设你希望各以1/2的概率输出0和1。你可以自由使用一个输出0或1的过程BIASED-RANDOM。它以概率P输出1，以概率1-P输出0，其中0<P<1，但是你并不知道P的值。给出一个利用BIASED-RANDOM为子过程的算法，返回一个无偏向的结果，即以1/2概率返回0，以1/2概率返回1。作为P的函数，以的算法的期望运行时间是多少？

 

分析：可以采用上一道概率题完全相同的思路解决这道问题。我们发现，如果考虑两次输出的结果，00的输出概率是P*P，01的输出概率是P*(1-P)，10的输出概率是(1-P)*P，11的输出概率是(1-P)*(1-P)。可以考虑如果输出的结果是01，即输出0；如果输出的结果是10，即输出1；否则不输出任何数字，而重新下一次尝试。

 

证明算法的正确性：首先定义两次输出的组合为一次尝试。我们可以看到各次尝试之间是完全独立的。对于其中一次确定的尝试，输出0和输出1 的概率是相等的，即为(1-P)*P。最终输出结果为0或者1的概率之和为1，即可以证明输出0的概率等于输出1的概率，为1/2。

                                                                    

计算算法的复杂度：假设BIASED-RANDOM作一次输出的复杂度为BR。

                                 - O(BR)  ( P*(1-P) )

算法可以定义为f =

                                - f             (1 - P*(1-P))

 

定义P0 = (1-P)*P，则有f=P0*O(BR) + (1-P0)*f = P0*O(BR) + (1-P0)(P0*O(BR)) + (1-P0)(1-P0)f = P0*O(BR) + (1-P0)(P0*O(BR)) + (1-P0)(1-P0)*P0*O(BR) + (1-P0)(1-P0)(1-P0)*f = ...

忽略掉最小项，有f=P0*O(BR)*(1+(1-P0)+(1-P0)(1-P0)+(1-P0)(1-P0)(1-P0)+...) 即是一个多项式。