一道概率题

设随机变量X和Y相互独立，X的概率布为P{X=i}=13，(i=−1,0,1),Y的概率密度是

fY(y)=⎧⎩⎨⎪⎪1,0,0≤y<1其他

记Z = X + Y.

1）求P{Z≤12|X=0}
2）求Z的概率密度fZ(z)

分析：通过这个小题看一下离散+连续，基于离散的分解思路，或者分两阶段采用全概率公式。特别注意的是条件概率时条件的概率统计问题。

比如对1），P{Z≤12|X=0}=P{X+Y≤12,X=0}P{X=0}, 特别看一下分子，P{X+Y≤12,X=0}=P{Y≤12,X=0}=P{Y≤12}×P{X=0},注意把X = 0代入到X+Y后，X = 0并没有丢失，因此，这是独立事件的概率展开法。
但是换一个角度思考，从条件概率出发，已知条件不是概率，则：
P{Z≤12|X=0}=P{X+Y≤12|X=0}=P{Y≤12},即，X=0这个条件是已知的，那么直接代入到X+Y即可，不用记作概率。而通过条件概率公式展开后分子是两个事件共同发生的概率，就需要小心，不要一拍脑袋把X=0的概率扔了。当然最终结果不含X=0的概率，因为分子分母抵消了，这和用条件概率直接思考的结果一致。

对2），主要是分解的思路，无论是直接分解还是借助全概率公式的思路，道理相同。
分成三块以后计算。

FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=P{X+Y≤z,X=−1}+P{X+Y≤z,X=0}+P{X+Y≤z,X=1}=P{Y≤z+1,X=−1}+P{Y≤z,X=0}+P{Y≤z−1,X=1}=P{Y≤z+1}×P{X=−1}+P{Y≤z}×P{X=0}+P{Y≤z−1}×P{X=1}=13(FY(z+1)+FY(z)+FY(z+1))

由此可得概率密度：

fZ(z)=⎧⎩⎨⎪⎪13,0,−1≤x<2其他

至于全概率公式，也是一样，唯一不同点在于形式更紧凑，其他没什么不同，也可以说全概率用了条件概率作为转折，最后统一。而直接展开是看到本质，直接划分了。