一道概率题-51nod11B

原题来自51nod算法马拉松11:我是链接

B君很喜欢去竞技场（Arena）

我们将竞技场规则简化如下：

1.每个人进入竞技场后，会等概率随机匹配一个人，匹配到的人与当前胜利和失败场数无关。

2. 胜利达到x场，或失败达到y场后，退出竞技场，根据退出时的胜利场数获得奖励，不能中途放弃。

3. 水平高的选手，总能战胜水平低的选手，不存在水平相等的人。

4. 竞技场有无穷多的人。

B君并不知道自己的水平，你可以认为B君的水平是在所有人中的等概率随机。

B君想知道自己退出时期望胜利场数是多少。

(0 < x, y <= 20)

其中一种解答:

假如算出所有情况发生的概率，那么答案只要用期望的定义，即胜利的场数乘以相应的概率再求和就可以算出来；考虑总共进行了a+b场比赛,其中a场比赛胜利的概率，为了简化问题，先不考虑退出竞技场的条件，设这个概率为P(a,b)

根据定义，我们可以写出

P(a,b)=limn→∞1na+b+1∑i=0nia(n−i)b

将内层的求和用二项式定理展开得到

P(a,b)=limn→∞1na+b+1∑i=0n∑j=0bCjn(−1)jia+jnb−j

注意观察这个右侧这个和式，他是一个关于i的a+b次多项式，对i从0到n的求和必然是一个关于n的a+b+1次多项式，而外面n的最高次恰好也是a+b+1,根据求极限的法则，有限个无穷小的项可以舍去，因此只需要关注多重和式中最后n的a+b+1a+b+1前的系数Q(a,b)Q(a,b)即为答案 {Q(a,b)= \sum_{i=0}^{b}{\frac{(-1)^j}{j+a+1}C_{b}^{j}} \qquad }

Q(a,b)=∑i=0b(−1)jj+a+1Cjb

这仍然是一个和式,利用高阶差分的二项式定理展开 {\Delta^n=(E-1)^n= \sum_{k}{(-1)^{n-k}E^kC^k_n} \qquad （1）}

Δn=(E−1)n=∑k(−1)n−kEkCkn（1）

令f(x)=(x−1)−1−−=1x,一方面，对f(x)逐次求差分可得Δnf(x)=(−1)nCnx+nx,结合(1),可得

∑k(−1)n−k1x+kCkn=(−1)nCnx+nx（2）

将这个式子代入n=b,x=a+1,可以立即得到结果

Q(a,b)=∑i=0b(−1)jj+a+1Cjb=1Caa+b(a+b+1)（3）

(3)式不仅说明了在没有退赛限制的条件下赢了a场输了b场这一事件发生的概率，也表明假如总共进行了n场比赛，那么赢了0,1,2...n场比赛发生的概率是相同的。

最后，由于概率已知，我们只需要利用动态规划求出赢i场出局的方案数，再乘以概率和赢得场数，累加起来就是答案。至此，本题得到了解决