回溯经典-m图着色问题

http://blog.csdn.net/suwei19870312/article/details/5282932

四色问题:

四色问题是m图着色问题的一个特列，根据四色原理，证明平面或球面上的任何地图的所有区域都至多可用四种、颜色来着色，并使任何两个有一段公共边界的相邻区域没有相同的颜色。这个问题可转换成对一平面图的４－着色判定问题(平面图是一个能画于平面上而边无任何交叉的图)。将地图的每个区域变成一个结点，若两个区域相邻，则相应的结点用一条边连接起来。多年来，虽然已证明用5种颜色足以对任一幅地图着色，但是一直找不到一定要求多于4种颜色的地图。直到1976年这个问题才由爱普尔(k．i．apple)，黑肯(w．haken)和考西(j．koch)利用电子计算机的帮助得以解决。他们证明了4种颜色足以对任何地图着色。

在这一节，不是只考虑那些由地图产生出来的图，而是所有的图。讨论在至多使用m种颜色的情况下，可对一给定的图着色的所有不同方法。

 

m图着色问题：

题目大意：

1，已知一个图g和m>0种颜色，在只准使用这m种颜色对g的结点着色的情况下，是否能使图中任何相邻的两个结点都具有不同的颜色呢?这个问题称为m-着色判定问题。

2，在m-着色最优化问题则是求可对图g着色的最小整数m。这个整数称为图g的色数。这是求图的最少着色问题，求出m的值。

题目的解法：

第一个问题，m-着色判定问题：

可以通过回溯的方法，不断的为每一个节点着色，在前面n-1个节点都合法的着色之后，开始对第n个节点进行着色，这时候枚举可用的m个颜色，通过和第n个节点相邻的节点的颜色，来判断这个颜色是否合法，如果找到那么一种颜色使得第n个节点能够着色，那么说明m种颜色的方案是可行的。返回真即可：

[cpp] view plaincopy

1. //用于判断当前节点上涂上这个颜色可不可行，与其邻接节点的颜色做判断，这里用邻接表来存储图的信息  
2. bool isok(int step)  
3. {  
4.      vector<int>::iterator iter;  
5.      for(iter = input[step].begin(); iter != input[step].end(); iter++)  
6.      {  
7.               if(Color[step] == Color[*iter]) return false;  
8.      }  
9.      return true;  
10. }  
11. //step表示0->n的节点，color_num是指给color_num的颜色的个数可用  
12. //判断如果给color_num的颜色的个数是否可行，如果可行返回true,否则false   
13. bool DFS(int step, int color_num)  
14. {  
15.      if(step >= n) return true;  
16.      else  
17.      {  
18.          int i;  
19.          for(i = 1; i<= color_num; i++)  
20.          {  
21.                Color[step] = i;  
22.                if(isok(step))  
23.                {  
24.                      if(DFS(step + 1, color_num))  
25.                           return true;  
26.                }  
27.                Color[step] = 0;  
28.          }  
29.      }  
30.      return false;  
31. }  

 

 

第二个问题：求出最少的着色数m

有了上面的问题的积累，对于这个问题就很简单了，只要从1到n枚举颜色数，来调用上面的DFS(0, m),如果有一次调用返回true，那么这时这个颜色就是我们要求的最少的着色数。

1. for(i = 1; i<= n; i++)  
2. {  
3.       if(DFS(0, i))  
4.       {  
5.              cout << "the min colors :" << i << endl;  
6.              break;  
7.       }  
8. }