回溯法 图着色问题

问题：

给定 无向连通图G=(V,E) 和 c种不同的颜色，用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。如果一个图最少需要c种颜色才能使图中每条边连接的2个顶点着不同颜色，则称c为该图的色数。
著名的 四色定理 就是指每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。

求：给定图的顶点v，顶点间的边邻接关系graph[][]，颜色的数量c，一共有多少种着色方法？

对于上面这图，颜色数量为4，顶点数为5，求得的解答树如下：

ps：解答树只给出部分

分析：

当cur = 3时，即填第3个顶点的颜色时，（1,2,1，*，）表示第1个顶点着第1中颜色，第2个顶点着第2个颜色，第3个顶点着第1个颜色，但是根据邻接表，顶点1和3是相邻的，因此此节点的子树没有解，因此用剪枝函数剪去

（1,2,2，*，）表示第1个顶点着第1个颜色，第2个顶点着第2个颜色，第3个顶点着第1个颜色，但是根据邻接表，顶点1和2是相邻的，因此此节点的子树没有解，因此用剪枝函数剪去

（1,2,3，1，*）表示第1个顶点着第1个颜色，第2个顶点着第2个颜色，第3个顶点着第3个颜色，第4个顶点着第1个颜色，顶点1和顶点4不是相邻的，因此可以都使用第1个个颜色，因此按照该节点的子树进行下一层的dfs

最终得出：（1,2,3，1，*）下的解有（1,2,3,1,3），（1,2,3,1,4），（1,2,3,1,5）

…..以此类推

分析时的规律：

1. cur：代表当前层，当前行，cur+1表示去到下一层或下一行；
2. for中的i：代表当前列，i++表示横移到右一列或是右一兄弟节点
3. 要分清用什么填什么，（用i填cur）图着色问题这里就是用颜色填顶点位置

代码实现

#include<iostream>using namespace std;int v,e,graph[100][100];//v顶点数， e边数， graph图的邻接矩阵 int c,color[100];//c颜色数  color当前边的颜色 int sum = 0;//着色方法的数目 //判断当前位置的颜色是否和相邻位置颜色重复 bool ok(int cur){    for(int i=1; i<=v; i++){        if(graph[cur][i] && color[cur] == color[i]){//如果坐标(cur,i)相邻 且 cur的颜色和i的颜色相同             return false;         }    }    return true;}void backtrace(int cur){    if(cur > v){        sum++;    } else {        for(int i=1; i<=c; i++){//分别为cur位置尝试第i中颜色             color[cur] = i;//表示cur位置图上第i种颜色             if(ok(cur)){                backtrace(cur+1);            }            color[cur] = 0;        }    }}int main(){    cout << "输入顶点数和颜色数量：" ;    cin >> v >> c;    cout << endl;    //输入邻接矩阵     for(int i=1; i<=v; i++){        for(int j=1; j<=v; j++){            cin >> graph[i][j];        }    }    backtrace(1);    cout << sum;}

样例输入：
5 4
0 1 1 1 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
0 1 0 1 0

样例输出：
48